OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund/Teil 3: Offene Aufgabe

Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Emily Feber

Annabel Fries

Nadja Hipskind

Jan Ludwig Andreas Paulus

E-Mail-Adressen und Datum

emfe00001@uni-saarland.de

s8aafrie@uni-saarland.de

s8nahips@uni-saarland.de

jan-paulus@gmx.net

15.09.2023

Inhaltsaspekte

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

In dieser Phase lautet die Aufgabenstellung der offenen Aufgabe folgendermaßen:

Yuki mag ihre Leckerlis besonders gerne. Yukis Frauchen legt 36 Leckerlis in einem Quadrat angeordnet auf den Boden. Yuki soll nun 6 Leckerlis so wegnehmen, dass in jeder waagerechten und senkrechten Reihe eine gerade Anzahl Leckerlis liegenbleibt. „Puh!“, denkt sich Yuki. „Da brauche ich Hilfe. Das ist doch ein Fall für die Saargenten. Bestimmt können die eine Lösung finden.“

Diese Aufgabenstellung ist auf einem Arbeitsblatt zu finden, auf dem die 36 Leckerlis in vereinfachter Form als Kreise dargestellt sind. Auf diese Weise können die Kinder auf der ikonischen Ebene eine Lösung finden. Die passende Anweisung dazu lautet: „Probiere aus.“

Da der Hund nicht direkt an dieser Phase der Lernumgebung beteiligt ist, sind für ihn keine Befehle vorgesehen.

Spezifisch für die beschriebene Aufgabenstellung werden den Schüler*innen weitere Informationen bereitgestellt, beispielsweise in Form von Experten- und Tippkarten. Auf den Expertenkarten finden sich folgende weiterführende Impulse:

• Finde weitere Lösungen. Was kannst du dabei alles entdecken?

• Suche verschiedene geometrische Formen für das Lösungsmuster.

• Aufgabe: In jeder Zeile und in jeder Spalte soll eine ungerade Zahl von Leckerlis übrigbleiben.

Des Weiteren sind verschiedene Hilfestellungen und Impulse auf den Tippkarten zu finden, von den Schüler*innen als differenzierende Maßnahme bei Bedarf genutzt werden können:

• 4 ist die kleinstmögliche gerade Zahl zu streichender Leckerlis, um die Aufgabe lösen zu können.

• Für die Aufgabe gibt es nur dann eine Lösung, wenn auch eine gerade Zahl von Leckerlis entfernt wird.

• Versuche 6 Leckerlis zu entfernen und dadurch ein Figurenmuster zu erzeugen.

• Durch Verschieben, Drehen, Spiegeln oder Dehnen eines Figurenmusters lassen sich weitere Lösungen finden.

• In jeder Spalte oder Zeile darf nie nur 1 Leckerli entfernt werden, da die Anzahl sonst ungerade ist.

Voraussetzungen

Für die Durchführung der Lernumgebung sollten verschiedene Voraussetzungen erfüllt sein. Zum einen sollte sichergestellt werden, dass die Schüler*innen weder unter- noch überfordert werden, indem etwa auf ein passendes Alter, also Grundschulalter, geachtet wird und indem sichergestellt wird, dass die Kinder zumindest etwas Gefallen an Knobelaufgaben und eine entsprechend hohe Ausdauer, Motivation und Frustrationstoleranz mitbringen. Beides dient dazu, dass der Leistungsstand der Lernenden zur jeweiligen Aufgabe passt, um eventuelle Demotivation oder Gefühle der Überforderung zu vermeiden. Zum anderen sollten den Schüler*innen ausreichend enaktives und ikonisches Material bereitgestellt werden, wie etwa Legeplättchen, Arbeitsblätter oder wie in unserem Fall auch mit Pop-Its, bei denen die Kinder durch das Umstülpen von Gummiwölbungen das Wegnehmen der Leckerlis darstellen können. Neben der kognitiven Entlastung dienen das Material allgemein und insbesondere die Arbeitsblätter oder andere Kopiervorlagen ebenfalls zur notwendigen Dokumentation und zur Orientierung, was den Kindern das Ermitteln weiterer Lösungen erleichtert (vgl. Käpnick, 2019, S. 20). Des Weiteren sollte mindestens eine Lehrkraft oder Lernbegleitung die Schüler*innen bei Bedarf beim Entwickeln und Überprüfen von Lösungswegen unterstützen. Diese sollte selbstverständlich mit den zugrundeliegenden mathematischen Hintergründen und verschiedenen Lösungsmöglichkeiten sowie -schwierigkeiten ausreichend vertraut sein. Um positive Lerneffekte zu erzielen, sollten die Kinder von der Lehrperson „behutsam an ein offenes, ungezwungenes Denken“ (Käpnick, 2019, S.20) herangeführt werden und dabei ermutigt werden „auch einmal andere Rechenwege zu versuchen sowie keine Angst vor (vermeintlichen) Fehlern zu haben“ (ebd.). Zudem zeichnet sich das mathematische Arbeiten der Kinder oft durch eine besondere Herangehens- und Denkweise und durch den eher spielerischen Umgang mit Zahlen und geometrischen Figuren aus. Gegenüber diesem Aspekt sollte seitens der Lehrkraft eine entsprechende Sensibilität bestehen, da sonst eine wichtige Voraussetzung für das Verstehen und das Fördern der Lernenden fehlen würde (vgl. Käpnick, 2019, S. 20).

Da der Hund an dieser Phase der Lernumgebung nicht direkt teilnimmt, sind keine besonderen Kommandos oder Fähigkeiten seinerseits notwendig und in diesem Sinne auch keine anderen Voraussetzungen erforderlich.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

In der vorliegenden Aufgabe sind zahlreiche mathematische Inhalte und Themen zu finden. Sie bietet verschiedene Möglichkeiten, um sich mit einer Vielzahl von mathematischen Tätigkeiten auseinanderzusetzen, wie zum Beispiel das Finden von Verallgemeinerungen oder auch das Aufstellen und Überprüfen von einfachen Theorien (vgl. Käpnick, 2019). Außerdem können bei der Auseinandersetzung mit dem Ausgangsproblem „Zusammenhänge zwischen figuralen Mustern und Zahlenbeziehungen entdeckt werden“ (Käpnick, 2019, S.19). So lässt sich erkennen, dass die Anzahl 4 die kleinstmögliche gerade Zahl zu streichender Punkte ist, um die Gerade-Zahl-Forderung, also die Forderung nach einer geraden Zahl übrigbleibender Punkte in jeder Zeile und Spalte, zu erfüllen. Eine weitere mögliche Erkenntnis ist, dass unter der allgemeinen Bedingung eines vorhandenen quadratischen Punktrasters mit einer geraden Anzahl von Spalten und Zeilen, sowie der Erfüllung der Gerade-Zahl-Forderung, es nur eine Lösung geben kann, wenn eine gerade Anzahl an „Leckerlis“ entfernt wird (vgl. ebd.). Ein weiterer fachlicher Inhalt, der durch die Aufgabe abgehandelt wird, ist das Erkennen und Verändern von Mustern. Die Schüler*innen entdecken, dass jede gefundene Lösung immer aus sechs zu entfernenden Punkten besteht und immer ein bestimmtes Figurenmuster repräsentiert, ein sogenanntes „Superzeichen“ (Käpnick, 2019, S. 19). Durch die Anwendung verschiedener Operationen aus der Geometrie, also etwa dem Drehen, Verschieben, Spiegeln oder Dehnen, können dann weitere Lösungen ausfindig gemacht werden (vgl. ebd.).

Neben diesen Bereichen bietet die Aufgabe durch ihre sehr hohe inhaltliche Offenheit noch weitere mögliche mathematische Anschlussprobleme, die nicht zwingend und teilweise nur unter der Anwendung von Differenzierungsvarianten entstehen können. Dazu gehört etwa die Frage nach der Anzahl aller möglichen Lösungen, die kombinatorisch gelöst werden kann, oder auch die Suche nach anderen geometrischen Figurenmustern als Lösung (vgl. Käpnick, 2019). Innerhalb der Aufgabenstellung lassen sich weitere Anpassungen und Veränderungen vornehmen, die neue Möglichkeiten zu mathematischen Entdeckungen offenbaren. Das Ausgangsproblem könnte auf ein Quadrat mit unterschiedlichen Größen übertragen werden, beispielsweise ein 8x8-Feld, die Gerade-Zahl-Forderung könnte gegen andere Aufgabenbedingungen, wie etwa eine Ungerade-Zahl-Forderung, getauscht werden oder die Anzahl der zu entfernenden Leckerlis könnte variiert werden (vgl. ebd.).

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Lösungswege und Schwierigkeiten

Die Vorgehensweisen der Lernenden bei dieser offenen Aufgabe können sehr vielfältig sein. Verschiedene Lösungswege können beispielsweise über die enaktive Handlungsebene, etwa mit Legeplättchen, oder über die ikonische Ebene wie durch den Einsatz von vereinfachten Visualisierungen auf Arbeitsblättern (vgl. Käpnick, 2019). Viele Kinder versuchen die Knobelaufgabe durch das systematische Probieren zu lösen, wobei sie immer wieder Zusammenhänge in den jeweiligen Konfigurationen erkennen und dann schrittweise versuchen, den Suchraum einzuengen (vgl. ebd.). Es besteht ebenso die Möglichkeit die Aufgabe zeichnerisch zu lösen, indem die 36 Leckerlis vereinfacht als Punkte oder Kreise selbst aufgezeichnet werden. Wichtig bei all diesen verschiedenen Vorgehensweisen ist das stetige kritische Überprüfen, ob tatsächlich alle Aufgabenbedingungen erfüllt sind. Das Finden einer Zwischenlösung, also die Erkenntnis, dass die Forderung nach einer geraden Zahl übrigbleibender Punkte in jeder Zeile und Spalte durch das Entfernen eines 2x2-Feldes erfüllt wird, erweist sich für viele Kinder als durchaus machbar (vgl. Käpnick, 2019). Hieraus ergibt sich jedoch eine signifikante Schwierigkeit der Aufgabe. Viele der Lernenden gingen nach dieser gefundenen Zwischenlösung davon aus, dass sie lediglich zwei weitere Plättchen, Punkte oder Kreise entfernen müssten, um die Aufgabe vollkommen zu lösen. Zwar ist diese Vorgehensweise durchaus sinnvoll und erfolgsversprechend, jedoch führt sie in keiner Variante zur endgültigen Lösung (vgl. ebd.). Die Kinder müssen also von ihrem vermeintlichen Lösungsweg abrücken und mit einem komplett neuen, anderen Lösungsansatz beginnen, was schlussendlich nur sehr ausdauernde, leistungsstarke und kreative Schüler*innen bewältigen (vgl. Käpnick, 2019). Wenn sie aber das spezifische Lösungsmuster gefunden haben, dann erhalten sie durch das Drehen, Verschieben, Spiegeln oder Dehnen dieses Figurenmusters noch viele weitere Lösungen (vgl. ebd.).

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Die Kriterien für „gute“ Aufgaben lassen sich grob in vier Unterkategorien einteilen, und zwar in die mathematische Ergiebigkeit, die Offenheit und optimale Passung, Authentizität, Aktivierung und Motivation sowie die Verständlichkeit. Diese Art von Aufgaben sollten eine hohe Anwendungs- und Strukturorientierung aufweisen, also sowohl eine Einbettung mathematischer Vorerfahrungen in lebensweltliche Situationen als auch die Förderung von mathematischen Aktivitäten wie das Finden, Beschreiben und Begründen von Mustern oder Vorgehensweisen wie das Ordnen, Verallgemeinern und Übertragen (vgl. Krauthausen, 2018). Diese Anwendungs- und Strukturorientierung deckt die Leckerli-Aufgabe besonders in den Bereichen des Lebensweltbezugs, dem Verallgemeinern und dem Finden von Mustern ab. Doch die Aufgabe erfüllt noch weitere der allgemeinen Kriterien für „gute“ Aufgaben. Sie ermöglicht einen gewinnbringenden und effektiven Umgang mit Heterogenität, indem sie den Einstieg in die Thematik einfach und verständlich ermöglicht, jedoch trotzdem herausfordernde Elemente für leistungsstärkere Schüler*innen bereithält (vgl. ebd.). Die Aufgabenstellung an sich bietet auf diese Weise verschiedene Zugänge auf unterschiedlichen Niveaus und lässt sich zudem flexibel variieren, zum Beispiel durch Erweiterung oder Veränderung der Aufgabenbedingungen, durch verschiedene Lösungswege oder auch durch den Einsatz beliebiger Hilfsmittel (vgl. Krauthausen, 2018 & Käpnick, 2019). Durch die Aufgabenstellung erhalten die Schüler*innen einen eindeutigen fachlichen Rahmen, trotzdem besteht „innerhalb dieser fachlichen Rahmung […] Offenheit für die Lernenden gemäß ihren individuellen Anspruchs- und Leistungsniveaus“ (Krauthausen, 2018, S. 261). Des Weiteren sollte eine „gute“ Aufgabe einen ausreichend reichhaltigen mathematischen Gehalt vorweisen, dessen Bearbeitung „bei den Lernenden Geduld, Ausdauer, Konzentration und Anstrengungsbereitschaft [erfordern sollte]“ (ebd.), was auch von der Leckerli-Aufgabe erfüllt wird. Im Folgenden soll nun noch genauer auf die anfangs aufgezählten Aspekte eingegangen werden.

Mathematische Ergiebigkeit (Kompetenzorientierung)

Die oben beschriebene Aufgabe zeichnet sich durch eine hohe mathematische Ergiebigkeit aus, da sie den Kindern beispielsweise durch das Suchen von Lösungsansätzen und Lösungswegen, das Darstellen und Präsentieren ihrer Lösungen oder auch das Finden weiterer Anschlussprobleme eine große Auswahl an Möglichkeiten des produktiven mathematischen Tuns bereitstellt (vgl. Käpnick, 2019). Des Weiteren beinhaltet sie eine reichhaltige mathematische Substanz mit verschiedenen Aspekten mathematischer Tätigkeiten (siehe „Mathematische Analyse“) sowie eine hohe inhaltliche Offenheit (vgl. ebd.), die auch den Einsatz verschiedener ikonischer und enaktiver Materialien begünstigt.

Offenheit & optimale Passung

Für eine konkrete unterrichtliche Gestaltung von individuellen Lernprozessen bieten offene Aufgaben vielfältige Möglichkeiten (vgl. Krauthausen, 2018). Dies ist auch bei der hier vorliegenden Aufgabe der Fall. Hinsichtlich der Auswahl der Hilfsmittel, zum Beispiel das Arbeitsblatt oder die Pop-Its, der Form der Ergebnisdarstellung, beispielsweise zeichnerisch oder mündlich, sowie der Lösungswege, etwa ikonisch oder enaktiv, lässt die Aufgabe den Lernenden viele Freiheiten. Sie ermöglicht ihnen so, eigenständig auf ihren jeweiligen Leistungsniveaus produktiv zu werden (vgl. Käpnick, 2019) und birgt so weder die Gefahr einer Überforderung noch einer Unterforderung. Durch die inhaltliche Offenheit und die vielen zu entdeckenden Themen können „die Kinder somit exemplarisch erfahren, dass die Welt der Zahlen und Formen kein starres und abgeschlossenes System ist, sondern viele Möglichkeiten für Entdeckungen bietet (ebd., S. 20).

Authentizität, Aktivierung & Motivation

Mit dem Begriff Authentizität ist in der Mathematik gemeint, dass für anwendungsorientierte Aufgaben realistische Daten verwendet oder authentisches Handeln eingefordert wird (vgl. Krauthausen, 2018). Da dies bei der Leckerli-Aufgabe beides nicht explizit angesprochen wird, könnte man vermuten, dass es an Authentizität fehlt, jedoch merkt Krauthausen an, dass es sich bei authentischen Problemen auch um rein innermathematische Probleme handeln kann, da „das mathematische System selbst die authentische Materialgrundlage schlechthin ist“ (2018, S. 352, zit. nach Erichson, 1999, S.164) und „die Entdeckung von Mustern, Strukturen, operationaler Logik in der Zahlenwelt oder der Geometrie […] eher keiner lebensweltlichen (Über-)Rechtfertigung [bedarf]“ (ebd.). Vor allem durch die leichte Zugänglichkeit der Thematik und der ansprechenden kindorientierten Rahmengeschichte werden die Schüler*innen in ihrem kognitiven und mathematischen Denken aktiviert. In der Rahmenhandlung wird klar, dass die Kinder dem Hund dabei helfen sollen ein Problem zu lösen, was sich bei den Lernenden stets durch motivierende aber auch aktivierende Einflüsse zeigt (vgl. Käpnick, 2019). Da es sich bei der Knobelaufgabe um eine durchaus komplexe und anspruchsvolle Aufgabe handelt, die eine Auswahl mathematischer Anforderungen beinhaltet, werden, insbesondere Kinder, die Freude an einer solchen Rätselaufgabe haben, nachhaltig motiviert, selbst wenn die Lernenden schwierigere Herausforderung nicht im ersten Versuch fehlerfrei lösen können (vgl. Krauthausen, 2018). Auch eine optimale Passung an die Leistungsstände der Schüler*innen, die eine Über- beziehungsweise Unterforderung verhindert und unter anderem durch die Offenheit der Aufgabe gewährleistet ist, begünstigt die Motivation (vgl. ebd.). Die Formulierung der Beschreibung des Ausgangsproblems in Textform im Stile eines bei Kindern sehr beliebten Rechenrätsels, sollte die Motivation und Anstrengungsbereitschaft der Schüler*innen noch zusätzlich erhöhen (vgl. Käpnick, 2019). Genauso sollten sich auch die Einbettung in die Rahmengeschichte sowie die indirekte Zusammenarbeit mit dem Hund positiv auf die Schüler*innen auswirken.

Verständlichkeit

Die Leckerli-Aufgabe und das damit beschriebene Ausgangsproblem ist für Grundschulkinder leicht verständlich und schnell zu erfassen, sodass alle die Chance haben sich erfolgreich mit dieser Aufgabe auseinanderzusetzen (vgl. Käpnick, 2019). So wurde in der Aufgabenstellung darauf geachtet möglichst allgemeinsprachliche Wörter zu verwenden und nur die Fachbegriffe „Quadrat“, „waagerecht“, „senkrecht“ und „gerade“ zu verwenden. Diese sollten den Kindern prinzipiell bekannt sein, können bei Bedarf jedoch auch schnell erklärt werden. Das Ausgangsproblem der Aufgabe ist für die Lernenden leicht verständlich, da es zusätzlich sehr gut veranschaulicht werden kann und in einem den Kindern vertrauten Kontext gegeben ist (vgl. ebd.). Mithilfe des relativ kurzen Aufgabentextes können die Schüler*innen den inhaltlichen Gehalt der Aufgabe sehr schnell erfassen und verstehen (vgl. Käpnick, 2019).

Differenzierung

Die verschiedenen Differenzierungsangebote in mathematischen Lernumgebungen müssen flexibel gestaltet werden, damit sowohl keine Über- als auch Unterforderung seitens der Schüler*innen stattfindet. Vor allem eine Form der Differenzierung eignet sich hierfür in besonderem Maße, nämlich die natürliche Differenzierung (vgl. Krauthausen, 2018). Bei Aufgaben, bei denen diese angewendet wird, wie auch bei der Leckerli-Aufgabe, können die Lernenden mithilfe einer fachlichen Rahmung durch die Lehrperson ganz individuell und selbstständig ihr Anspruchsniveau bestimmen und damit ihren individuellen Fähigkeiten entsprechen (vgl. ebd.). Der Begriff der natürlichen Differenzierung, der auch bei dieser offenen Knobelaufgabe maßgebend ist, soll nun noch genauer analysiert werden. Alle Kinder einer Lerngruppe erhalten das gleiche Lernangebot, wobei dieses eine bestimmte Komplexität nicht unterschreiten und zudem verschiedene Fragestellungen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden bereithalten sollte, sodass das einzelne Kind dann in der Lage ist, individuell eine selbst verantwortete Wahl des jeweiligen Schwierigkeitsgrades zu treffen (vgl. Krauthausen, 2018). Außerdem sind den Schüler*innen innerhalb des didaktischen Rahmens auch die Wahl der Lösungswege, der Hilfsmittel, der Darstellungsweise und manchmal auch der Problemstellung freigestellt (vgl. ebd.) Beides wird in der vorliegenden Knobelaufgabe erfüllt, indem, wie schon zuvor beschrieben, entweder von Anfang an oder durch Abänderungen in der Aufgabestellung vielfältige Problemstellungen zu bearbeiten sind, wie beispielsweise das Finden möglichst vieler verschiedener Lösungen oder das Herausfinden der Anzahl der insgesamten Lösungsmöglichkeiten, vielfältige Lösungswege denkbar sind und verschiedene ikonische oder enaktive Hilfsmittel genutzt werden können.

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Handeln, Sprechen, Schreiben

Wollring (2008) beschreibt den Umstand eines zeitlich aufeinander aufbauenden Dreischritts in der Artikulationsweise bei Schüler*innen (vgl. S. 7), bei dem ein sukzessives Durchschreiten der Artikulationsformen des Handelns, des Sprechens und des Schreibens erfolgt. Der Autor vertritt die Auffassung, “dass als Artikulationen Handeln, Sprechen und Schreiben insgesamt den Unterricht bestimmen sollen” (ebd.) und somit “alle diese Artikulationsoptionen” (ebd.) in jede Lernumgebung eingeplant werden sollten. Alle drei Artikulationsoptionen finden sich daher sowohl in der Planung als auch in der praktischen Durchführung der Lernumgebung. Die Artikulationsoption des Handelns wird durch das Lösen der Adaption der Nuss-Aufgabe mit Hilfe einer Anti-Stress-Matte (siehe Anhang 1) ermöglicht. Die Schüler*innen erstellen ihre jeweiligen Lösungen, indem sie die einzelnen Elemente der Matte eindrücken und so verschiedene Muster erzeugen. Dabei kann stets der bisherige Lösungsansatz korrigiert werden, wodurch eine Möglichkeit des reversiblen Handelns entsteht (vgl. ebd., S. 8). Das verwendete Material bietet aber auch die Möglichkeit, “das eigene Tun begleitend auf eine nicht flüchtige Art zu dokumentieren” (ebd.) und eben diese Form der Dokumentation später in den Diskurs mit anderen Schüler*innen und der Lehrperson zu überführen. Dieser Diskurs stellt die zweite Artikulationsoption, nämlich die des Sprechens, dar. Die Beurteilung und der Vergleich der eigens durch die Schüler*innen erstellten Lösungen bieten einen natürlichen Sprechanlass. Das Sprechen als Artikulationsoption wird in der Lernumgebung aber auch in der aktiven Arbeitsphase der Schüler*innen am Material genutzt. Hier werden Rückfragen und Impulse sowohl von der Lehrperson zum Kind als auch reziprok geäußert. Es entstehen in der praktischen Durchführung der Lernumgebung kurze Gespräche, bei denen Hinweise gegeben werden, aber auch Erklärungen der Lösungsansätze durch die Schüler*innen versprachlicht werden. Eine Dokumentation von Teilschritten und Ergebnissen in Schriftform ist in der Lernumgebung nicht vorgesehen, jedoch erstellen die Schüler*innen auf einem Arbeitsblatt (siehe Anhang 2) Zeichnungen der Muster, die sie durch das Handeln am Material finden konnten. Diese erstellten Zeichnungen dienen den Schüler*innen dabei als Form der individuellen Dokumentation und können ebenfalls in der gemeinsamen Reflexionsphase im Plenum besprochen werden (vgl. Wollring, 2008, S. 8).

Raum zum Gestalten und Behalten

Der Raum zum Gestalten, bzw. der “Spiel-Raum” innerhalb der Lernumgebung wird dadurch definiert, dass hier “die Gegenstände in ihren jeweiligen materiellen Repräsentationen auch tatsächlich flexibel” gestaltbar sind (ebd.). Dieser Umstand wird durch zwei Faktoren ermöglicht: Zum einen muss die Planung der Lernumgebung diesen Raum zum Gestalten durch ihre Beschaffenheit hergeben, zum anderen muss das Material, auf dem der “Spiel-Raum” ausgelebt wird, auch dafür geeignet sein. Durch den spielerischen Umgang mit der Anti-Stress-Matte, die sich in der praktischen Durchführung als flexibel erweist, ist dieser “Spiel-Raum” vorhanden. Weiterhin ausschlaggebend für die Qualität der Lernumgebung ist die Verfügbarkeit des Raums zum Behalten (vgl. ebd.). Dieser Raum ergänzt nicht nur den Raum zum Gestalten, es werden durch ihn auch Möglichkeiten der Dokumentation etabliert, die im späteren Arbeitsverlauf als Stütze dienen (vgl. ebd.). Dieser Raum findet sich in der Lernumgebung in Form eines Arbeitsblattes, auf dem die Schüler*innen ihre Lösungen und Lösungsansätze zeichnerisch dokumentieren. Die Nutzung der beiden Räume erfolgt dabei sukzessiv, indem erst die Anti-Stress-Matte bespielt wird und im Anschluss die Muster auf dem Arbeitsblatt gezeichnet werden. Somit ergänzen sich in der praktischen Ausführung der Lernumgebung die beiden Räume.

Sozialformen

In der Lernumgebung wird sowohl die Einzelarbeit als auch die Arbeit im Plenum fokussiert. Die Schüler*innen arbeiten in der Arbeitsphase sowohl mit der Anti-Stress-Matte, als auch auf dem Arbeitsblatt in Einzelarbeit, um den individuellen Lernzuwachs der Schüler*innen zu gewährleisten (vgl. Klauer & Leutner, 2012, S. 69). Zum Abschluss werden anschießend die Ergebnisse der Schüler*innen mit dem Arbeitsblatt im Plenum besprochen. Hier vergleichen und kommentieren die Schüler*innen gegenseitig ihre unterschiedlichen Lösungen und Lösungswege. Wie diese Schlusssequenz in der praktischen Durchführung in Form einer Reflexion ausgeführt wird, wird im Folgenden beschrieben.

Reflexion in der Schlusssequenz

Der Reflexionsprozess beschreibt “das individuelle und in der Kleingruppe oder im Klassenverband auch kollektive Nachdenken und -fühlen vergangener Lernhandlungen, um aus dem Nachdenkprozess Erkenntnisse zu ziehen und je nach Zielstellung weitere tatsächliche Handlungsschritte abzuleiten” (Köhler & Weiß, 2017, S. 13). Das heißt, dass hier aufgrund von Gruppen- oder Einzelergebnissen jeweils in den Köpfen der Kinder Denkprozesse eingeleitet werden sollen, die das bisherige Vorgehen zur eigenen Lösung ergänzen, korrigieren oder revidieren. Die Schüler*innen präsentieren in der praktischen Durchführung ihre Ergebnisse dem Plenum mit Hilfe ihrer Zeichnungen auf dem Arbeitsblatt. Dabei erklären sie ihr Vorgehen um so den Lösungsweg zur dargestellten Lösung für die anderen Schüler*innen transparent zu gestalten. Jedes Kind vergleicht hier die eigenen Lösungswege und Argumentationen mit denen der anderen Kinder und gelangt somit zu neuen Impulsen, wie eine Lösung der Aufgabe durchgeführt werden kann. Die Lehrperson regt hier stets zur Formulierung der eigenen Gedanken an, sollten diese nicht ausführlich und nachvollziehbar von den Schüler*innen geäußert werden.

Potenzial des Einsatzes von Materialien

Investives Material

Im Gegensatz zu konsumtivem Material wird das investive Material dadurch gekennzeichnet, dass es durch den Arbeitsprozess nicht verbraucht wird, sondern eine bestehende Ressource bildet, die auch über die Lernumgebung hinaus in andere Kontexte überführt werden kann (vgl. Wollring, 2008, S. 10). Das benötigte investive Material der Lernumgebung beschränkt sich somit auf die Anti-Stress-Matte. Das verwendete Arbeitsblatt kann als konsumtives Material betrachtet werden. Die darauf festgehaltenen Ergebnisse können zwar in weitere Unterrichtsphasen überführt werden, jedoch ist das Material nicht erneut verwendbar.

Der Umgang mit den Arbeitsmitteln

Durch die Verbindung zwischen der Anti-Stress-Matte und Spielzeug aus der Lebenswelt der Schüler*innen, sowohl dem einfachen Prinzip des Ein- und Ausdrückens der einzelnen Mattenteile, erfolgt ein Erlernen der Handhabung durch Ausprobieren. Die Schüler*innen erfahren so die Funktionsweise des investiven Materials, das sich somit durch seine einfache Verwendungsweise als besonders geeignet zeigt. Eine gesonderte Heranführung an den Umgang mit dem Hund findet hier nicht statt. Eine Kind-Hund-Interaktion ist für die beschriebene Lernumgebung in dieser Phase nur im Zuge der thematischen Einbettung sowie der Ergebnissicherung geplant, da die Schüler*innen sich auf das Erzeugen ihrer Einzelergebnisse fokussieren. Sollte durch eine Umplanung dennoch eine Interaktion erfolgen, so können die Schüler*innen hier bereits etablierte Regeln und Hinweise zur Arbeit mit dem Hund erneut in eigenen Worten formulieren. Dies geschieht geplant vor dem Hundekontakt in der Sicherungsphase in Zuge der Belohnung des Hundes.

Welches konsumtive Material wird benötigt?

Im Zuge der bereits eingeführten Unterscheidung zwischen konsumtivem und investivem Material (vgl. ebd.), kann das Arbeitsblatt der Lernumgebung als konsumtives Material betrachtet werden. Es wird verwendet, um die Ergebnisse der Einzelarbeit festzuhalten und in die gemeinsame Reflexionsphase zu überführen. Darüber hinaus ist es nicht mehr verwendbar und gilt somit als verbrauchte Ressource.

Organisation des Materials

Im ersten Zuge der Arbeitsphase wird den Schüler*innen das investive Material gereicht, auf dem sie ihre Vermutungen testen und spielerisch einen Lösungsansatz bilden können. Anschließend nutzen die Schüler*innen das auf ihrem Platz ausgelegte Arbeitsblatt, um Ergebnisse zu visualisieren. Auf dem Arbeitsblatt finden sich dabei in Reihen angeordnete, quadratische Netze, die der Anzahl der Mattenteile pro Reihe und Zeile entsprechen. Die Schüler*innen können somit ihre Lösungen direkt in die Netze zeichnen, wobei die bespielte Anti-Stress-Matte als Vorlage dient. Die Vorteile dieser simultanen Arbeit mit Arbeitsblatt und Matte lässt die Kinder zum einen die Verbindung zwischen beiden Materialien genau erkennen, zum anderen kann so die Matte als visuelle Stütze dienen. Weiterhin ergänzen sich hier die Darstellungen auf der Matte und dem Arbeitsblatt, indem sie beide das gleiche Ergebnis in unterschiedlichen Visualisierungen darstellen. Das Festhalten der Ergebnisse erfolgt hier außerdem im simultanen Arbeiten mit der Matte, wodurch beide Arbeitsformen verknüpft und damit ebenfalls als sinnvoll gerechtfertigt werden. Die Organisationsform bietet auch die Chance, Demotivation vorzubeugen: Sollte es einem Kind schwerfallen, eine Lösung zu erzeugen, kann die Matte als attraktives Spielzeug weiter genutzt werden, auch zum Stressabbau, wodurch trotz Verweigerung der Weiterarbeit neue Ansätze gefunden werden können. Ein möglicher Nachteil dieser Organisationsform besteht darin, dass die Schüler*innen durch die gleichzeitige Bedienung zweier Arbeitsmittel kognitiv oder motorisch überlastet werden.

Die Funktionen der Arbeitsmittel

Die Anti-Stress-Matte dient dem spielerischen Erzeugen von Lösungen, die im Endeffekt auf dem Arbeitsblatt festgehalten werden. Das Arbeitsblatt wird zur Präsentation und zum Vergleich der Ergebnisse im Plenum genutzt. Wie oben bereits erwähnt, dient die Anti-Stress-Matte aber ebenfalls der Regulierung motivationaler Probleme. Durch ihre attraktive Bespielbarkeit bietet sie einen Anreiz verwendet zu werden, auch wenn die Motivation zum Lösen der Aufgabe nachlässt.

Fachdidaktische Potenziale der Arbeitsmittel

Zunächst soll hier das fachdidaktische Potenzial der im Klassenraum verbleibenden (vgl. ebd., S. 10) Anti-Stress-Matte betrachtet werden. Die Matte bringt sowohl durch ihre handliche Form und das griffige Material als auch durch die Verbindung zu zur Zeit allgemein beliebten Kinderspielzeugen nicht nur einen großen Anreiz, bespielt zu werden, sondern auch einen hohen Alltagsbezug mit sich. Die Schüler*innen werden dadurch in jedem Moment der Interaktion mit der Matte motiviert, mit ihr zu arbeiten. Diese spielerisch etablierte Motivation dient ebenfalls als Motivationsstabilisator, der in motivational kritischen Situationen (Unlust, Erschöpfung) aber auch in Situationen, in denen längere Zeit keine (neue) Lösung für die gestellte Aufgabe gefunden wird, die Motivation aufrechterhalten oder erneut erzeugen kann. Sie wird in Einzelarbeit eingesetzt, eignet sich aber ebenfalls zur Präsentation von Ergebnissen. Hier können Muster nachgedrückt und somit kopiert werden. Auch ist eine einfache Fehlerkorrektur möglich, die hier ohne imaginären Rotstift geschieht. Durch das einfache Löschen der falschen Herangehensweise wird eine positive Fehlerkultur etabliert, bei der ein falsch gedrückter Knopf der Matte einfach zurückgedrückt werden kann. Darüber hinaus bietet die motorische Arbeit mit der Anti-Stress-Matte die Möglichkeit der Entlastung des Arbeitsgedächtnisses und der motorischen Beschäftigung. Die Arbeit mit den Händen soll die Schüler*innen dabei in ihrem Arbeitsprozess unterstützen und gleichzeitig kognitiv entlasten, da eben die gedrückten Knöpfe der Matte in der neuen Position verbleiben. Das Arbeitsblatt wird in Einzelarbeit durchgeführt. In der Lernumgebung dient es sowohl als Grundlage für die Visualisierung von Ergebnissen, wie auch die Anti-Stress-Matte. Das Arbeitsblatt bietet aber weiterhin die Möglichkeit, die Ergebnisse für das Plenum verständlich und nachvollziehbar zu präsentieren. Da alle Schüler*innen das gleiche Arbeitsblatt bekommen, können Unterschiede in den visualisierten Mustern schnell erkannt werden, da nicht erst das Trägermedium des jeweils Präsentierenden neu entschlüsselt werden muss.

Material- und Zeitaufwand

“Vorbereiten und Durchführen der Arbeit in einer Lernumgebung sind auch nach Zeitaufwand zu bewerten.” (ebd.). Die ökonomische Nutzung, die Wollring (2008) in seiner Literatur nicht nur auf den Faktor Zeit, sondern auch auf die Verfügbarkeit und Nutzbarkeit des verwendeten Materials bezieht, wird in der Planung der Lernumgebung berücksichtigt. Einer effizienten Durchführung einer Lernumgebung zuträglich erscheint hier eine sowohl zeitlich als auch materiell durchdachte Planung, bei der mit dem Material möglichst zielführend am gestellten Problem gearbeitet werden kann. Da die verwendete Anti-Stress-Matte und das zugehörige Arbeitsblatt jeweils direkt durch das Festhalten und Teilen des jeweiligen Produkts verbunden sind, scheint die Kombination beider Mittel geeignet. Die Matte entspricht dabei in ihren Maßen genau dem Probleminhalt, wodurch das mathematische Problem mit dem Arbeitsmittel unmittelbar bearbeitet wird. Sowohl das Arbeitsblatt als auch die Matte sind kostengünstig zu erzeugen und zu erwerben, wodurch eine ökonomisch sinnvolle Herangehensweise an die Lernumgebung gesichert ist.

Zuwendung durch die Lehrperson

Aufgrund der Lerngruppenstruktur ist anzunehmen, dass die Schüler*innen das konzentrierte, problemorientierte Arbeiten während der Arbeitsphase sowohl mit der Anti-Stress-Matte als auch auf dem Arbeitsblatt selbstständig erledigen. Die Lehrperson nimmt dabei eine tendenziell passivere Rolle ein und unterstützt lediglich bei konkreten Schülerfragen, sowohl durch einzelne Hinweise und Lob. Sollte dennoch Beratung durch die Lehrperson von Nöten sein, diese in der praktischen Durchführung nicht oder nur unzureichend erfolgen, so sollten die Schüler*innen durchaus in der Lage sein, den anderen Kindern eine Hilfestellung zu bieten. Dies liegt zum einen daran, dass sich die Kinder bereits teilweise aus früherem Zusammenarbeiten kennen. Zum anderen verfügen die Schüler*innen nicht nur über die mathematischen Kompetenzen, die es zur Erstellung einer Lösung des Problems braucht, sondern auch über kommunikative Kompetenzen, die sie dazu befähigen, den anderen Kindern ihr bisheriges Vorgehen zu beschreiben, ohne in jedem Fall eine konkrete Lösung vorzugeben. Bei der praktischen Umsetzung sollte daher die Lehrperson nur in Konfliktsituationen oder bei konkreter Bitte um Hilfe intervenieren.

Evaluation

Strategiedokumente

Im Zuge der Evaluation einer Lernumgebung ist es entscheidend, die Herangehensweise bei mathematischen Problemen mit einzubeziehen und nicht nur die Ergebnisse zu betrachten (vgl. ebd., S. 11). Ein dafür nötiges Strategiedokument zeigt die Herangehensweise der Schüler*innen durch verfolgte Ansätze, die zur Lösung führen sollen. Im Zuge der Durchführung der Lernumgebung sind durch die Lehrperson Strategiedokumente erstellbar, wenn das Vorgehen der Kinder während der Arbeitsphase notiert wird. Auch die Äußerungen der Kinder zum eigenen Vorgehen können Informationen für ein Strategiedokument liefern. Die Form der Dokumentation auf dem Arbeitsblatt sowie die revidierbare Natur der Arbeit auf der Anti-Stress-Matte erzeugen jedoch nicht automatisch strategieaufzeigende Dokumente. Diese können nur durch schrittweises Festhalten des Vorgehens der Schüler*innen bereitgestellt werden.

Kann identifiziert werden, was an einer Schülerlösung anerkennenswert ist?

Die Lernumgebung wurde so geplant, dass eine Wertung der Lösung nicht ausschließlich durch die Betrachtung der angefertigten Visualisierung erfolgt, sondern diese im Zusammenhang mit der Schilderung des Vorgehens betrachtet wird. Die zentralen Leistungen, die die Schüler*innen während der Lösung des mathematischen Problems leisten, umfassen sowohl die Mustererkennung als auch das Nutzen geometrischer Fähigkeiten. Anerkennenswert ist dabei, dass die Schüler*innen das Muster zur Lösung sowohl identifizieren, indem sie seine Grundform visualisieren und erklären. Außerdem soll das erkannte Muster weitergeführt werden. Dies geschieht durch geometrische Bearbeitung der Grundform, indem diese verschoben, gespielt und gedreht wird. Weiterhin erkennen die Schüler*innen, dass ein bestimmtes Verhältnis von genutzten Positionen pro Zeile und Spalte zu anderen Zeilen und Spalten herrschen muss, damit ein Lösungsansatz zu einer möglichen Lösung führt. All diese Erkenntnisse können die Schüler*innen in der Kombination aus Visualisierung und Schilderung in der Reflexionsphase vorstellen. Eben dadurch wird klar, welche Schülerlösungen anerkennenswert sind.

Kann identifiziert werden, welche Leistungen zum sozialen Lernen beitragen?

Da die Arbeitsphase prinzipiell auf eine individuelle Einzelarbeit abzielt, in der Reflexionsphase jedoch Ergebnisse ins Plenum gebracht werden, ist anzunehmen, dass Momente des sozialen Lernens, also des Lernens “im Austausch miteinander” (ebd., S. 1), vorrangig in der Reflexionsphase erkennbar sein werden. In spontanen Situationen der Kind-Kind-Interaktion in der praktischen Durchführung während der Arbeitsphase kann das Prinzip des sozialen Lernens jedoch nicht im Vorhinein ausgeschlossen werden. Die Förderung des sozialen Lernens lässt sich in der Reflexionsphase vor allem dadurch erkennen, dass kommunikative Regeln eingehalten werden, die das Teilen von Ergebnissen in der Gruppe ermöglichen. Die Schüler*innen folgen dabei aufmerksam den Beiträgen der jeweils redenden Person und denken mit. Sie warten, bis sie an der Reihe sind, um ihr Vorgehen und ihre Gedankengänge zu schildern. Diese Form der sozialen Interaktion fördert das soziale Lernen als fächerübergreifendes Prinzip. Hier kann daher klar erkannt werden, welche Leistungen die Schüler*innen vollziehen müssen, um in der sozialen Gruppe zu bestehen.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld / Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht

Das Vernetzen mit anderen Lernumgebungen findet auf verschiedenen Ebenen statt, Winter bezeichnet dies als „Beziehungsreichtum“ (vgl. Wollring, 2008). Eine Lernumgebung sollte im Mathematikunterricht nicht isoliert stehen, es sollte immer ein Schwerpunkt auf einem bestimmten mathematischen Gegenstand liegen (vgl. Wollring, 2008). Im Sinne einer beziehungshaltigen Mathematik werden darüber hinaus aber auch verschiedene Inhalte, Darstellungen, sowie Argumentationsmuster miteinander verbunden (vgl. Wollring, 2008). Eine Lernumgebung im engeren Sinne zeichnet sich durch „Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld“ aus (Wollring, 2008, S. 12). Nicht nur verschiedenen Bereiche der Mathematik sollten in einer Lernumgebung abgedeckt werden, es sollten auch Beziehungen zu anderen Fächern hergestellt werden (vgl. Wollring, 2008). Neben den Schulfächern ist auch ein außerschulischer Lebensweltbezug von großem Vorteil. Mit der vorliegenden Aufgabe können die im Kernlehrplan des Saarlandes Grundschule Mathematik (2009) aufgelisteten inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitideen) „Zahlen und Operationen“, „Raum und Form“, sowie „Muster und Strukturen“ angesprochen werden. Nimmt man den kombinatorischen Aspekt mit dazu wird auch die Idee „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ betrachtet. Allgemein mathematische Kompetenzen welche gefördert und benötigt werden, sind vorrangig das Problemlösen, Modellieren und Darstellen. Wird die Aufgabe in Partner- oder Gruppenarbeit gelöst, werden auch das Kommunizieren und das Argumentieren genutzt. Hieran erkennt man die Ergiebig- und Erweiterbarkeit der behandelten, offenen Sachaufgabe. Die Aufgabe beschränkt sich daher nicht auf eine Strategie oder ein mathematisches Problemfeld, sondern kann vielfältig gelöst und eingesetzt werden, dies erkennt man auch an den möglichen weiteren Aufgabenstellungen. Es handelt sich daher um eine Lernumgebung im engeren Sinne. Da es sich um eine Knobelaufgabe handelt, müssen keine vorherigen Lehr- und Lernaktivitäten stattfinden, denn die Kinder sollen eigenaktiv das Problem lösen, dabei stehen ihnen verschiedene Wege zur Verfügung.

Weiterführende Aufgabenstellungen

Durch das Lösen der Aufgabe in Form von Spiegeln, Drehen, Verschieben oder Dehnen ergeben sich neue Problemfelder (vgl. Käpnick, 2019). Kombinatorische Fragestellungen können passend angeknüpft werde, beispielsweise kann die Anzahl aller unterschiedlicher Lösungen herausgefunden werden oder verschiedene geometrische Formen (vgl. Käpnick, 2019). Weitere Anschlussaufgaben ergeben sich aus dem Vergrößern und / oder Verkleinern der Quadrate. Die Ausgangsaufgabe erweitert sich dadurch, da herausgefunden werden soll, wie die Gerade-Zahl-Forderung weiterhin erfüllt werden kann (vgl. Käpnick, 2019). Eine weitere zusätzliche Problemstellung kann sich durch ein Ersetzen der Aufgabenbedingung ergeben, beispielsweise durch die Forderung, dass statt Geraden, eine ungerade Anzahl an Punkten bestehen bleibt (vgl. Käpnick, 2019).

Beziehungen zu anderen Fächern / zur außerschulischen Lebenswelt

Eine übergeordnete Kompetenz, welche durch die Aufgabe vorrangig angeregt wird, ist das logische Denken. Diese spielt sowohl im Schulalltag als auch außerschulisch eine wichtige Rolle. Auch die Problemlösekompetenz, welche im Kernlehrplan gefordert wird, nimmt einen übergeordneten Platz ein. Das Problemlösen spielt sich hauptsächlich in Bereichen der Naturwissenschaft ab, aber auch im Alltagsleben kann diese behilflich sein. Neben diesen Bezügen besteht außerdem eine Beziehung zu dem Fach Kunst, da Grundfähigkeiten aus diesem Fach zu einer ordentlichen Skizzierung der mathematischen Ideen führen kann. Auch das Fach Deutsch kann an dieser Stelle genannt werden, da die Kinder in der Lage sein müssen die Aufgabenstellung lesen zu können. Die Sprache dient hier als Trägermedium und liefert Informationen.

Reflexion der Lernumgebung

Der größte Stolperstein, welcher während der Durchführung auftreten kann, ist das Scheitern und dem folgenden Verlust der Motivation an der Aufgabe. Um diesem Problem entgegenzuwirken, wurden Tippkarten erstellt, welche die Kinder unterstützen können. Diese stehen zur Verfügung und können bei Bedarf genutzt werden, sie werden jedoch nicht gleich zu Beginn angekündigt, um zu vermeiden, dass diese direkt eingesetzt werden, ohne das Lösen probiert zu haben. Dieses Problem kann zudem gelöst werden, indem die Schüler*innen in Partner- oder Gruppenarbeit arbeiten, dabei können sie über das Problem reden und ihre Ideen austauschen. Darüber hinaus stehen, wie bereits erläutert, verschiedene Materialien zur Bearbeitung zur Verfügung, diese können enaktiv genutzt werden, um die Problemstellung zu lösen. Auch können die Kinder jederzeit die Hilfe der Lehrpersonen erlangen. Um zu verhindern, dass die Aufgabenstellung der Sachaufgabe, welche zu Beginn am Smartboard gezeigt wird, vergessen wird, wurde diese erneut auf das Arbeitsblatt gedruckt, sodass diese zu jeder Zeit nachgelesen werden kann. Ein weiterer Stolperstein könnte die Zeit darstellen. Finden Schüler*innen bereits sehr schnell eine Lösung, so verbleibt viel Zeit. Diesem Problem wird durch Expertenkarten entgegengewirkt, durch diese werden weitere mögliche Aufgabenstellungen gegeben (wie oben genannt), an denen die Kinder weiterarbeiten können.

Die Lernumgebung sollte nicht angewendet werden, wenn die Schüler*innen noch nicht die benötigten mathematischen Fähigkeiten besitzen, um die Aufgabe lösen zu können. Ohne diese Kompetenzen stoßen die Schüler*innen schnell auf ein Scheitern, Frustration und vermutlich einem Verlust der Motivation.

Literatur

Käpnick, F. (2019): Mathe für kleine Asse. Empfehlung zur Förderung mathematisch interessierter und begabter Kinder im 3. und 4. Schuljahr. Band 1. Berlin: Cornelsen. Kapitel 5 & 6 (S.18-26).

Klauer, K., Leutner, D. (2012): Lehren und Lernen. Einführung in die Instruktionspsychologie. (2. überarbeitete Aufl.). Weinheim: Beltz.

Köhler, K., Weiß, L. (2017): Mit Kindern kompetenzorientiert über Lernen sprechen. Reflexionsmethoden für die Grundschule. Mit Online-Materialien. Weinheim: Beltz.

Krauthausen, G. (2018): Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule. 4. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur (2009): Kernlehrplan Mathematik Grundschule.

Schäfer, H., Schönhofen, K., & Beetz, A. (2023): Praxiswissen Schulhund: Sonderpädagogischer Schwerpunkt Geistige Entwicklung. Kohlhammer Verlag.

Wollring, B. (2008): Zur Kennzeichnung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht in der Grundschule. Kasseler Forschergruppe (Hrsg.). Lernumgebungen auf dem Prüfstand. Bericht 2 der Kasseler Forschergruppe Empirische Bildungsforschung Lehren – Lernen – Literacy. Kassel: kassel university press GmbH.