OpenSource4School/Lernumgebungen zu Mathe mit Hund/Teil 5: Ergebnissicherung

Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Laura Gilcher, Lynn Marie Greilach, Emma Schnubel und Sophie Zimmer

E-Mail-Adressen und Datum

Datum: 07.09.2023

Laura Gilcher: s8lagilc@uni-saarland.de

Lynn Marie Greilach: s8lygrei@uni-saarland.de

Emma Schnubel: s8emscnu@uni-saarland.de

Sophie Zimmer: s8sezimm@uni-saarland.de

Inhaltsaspekte

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Generell startet die Lernumgebung mit einer Vorstellungsrunde der Gruppenmitglieder sowie einer Einführung in die Verhaltensregeln im Umgang mit einem (Therapie(begleit-) Hund, denn die Schüler*innen sollten vor der Begrüßung des Hundes die Umgangsregeln kennen und verstanden haben (vgl. Blesch, 2020, S.52 f.). Es werden klare Regeln formuliert, welche an den Hund, die Umgebung und die Teilnehmer*innen angepasst sind (vgl. ebd., S.53). Da es sich in diesem Fall um Grundschüler*innen handelt, werden die Regeln leicht verständlich verbalisiert und für die Dauer der gesamten Lernumgebung auf einem Plakat visualisiert. Folglich kennen die Schüler*innen die Verhaltensregeln im Umgang mit dem Hund und haben diese bereits in den vorherigen Phasen angewandt. Falls in der fünften Phase eine der aufgestellten Regeln nicht beachtet wird, können die Studierenden erneut auf die visualisierten Regeln verweisen. Aufgrund des ausführlichen Einstiegs zu Beginn der Lernumgebung findet in der fünften Phase nur eine Begrüßungsrunde statt, bei der sich sowohl die Schüler*innen als auch die Studierenden namentlich vorstellen. Da die Studierenden erst in dieser Phase mit der Lerngruppe interagieren, können sich somit alle Beteiligten kennenlernen, sodass eine positive Gesprächsatmosphäre entsteht. Nach dieser Begrüßungsrunde startet die Reflexionsrunde, in der sich die Schüler*innen zu den vorangegangenen Phasen mit Hilfe eines Impulsewürfels äußern. Die dazugehörigen Impulse werden nachfolgend skizziert.

Explizite Formulierung der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge

1. Konkrete Fragestellung/ Aufgabenstellung/ Anweisung/ Text

Anweisungen für die Reflexionsrunde:

• „Du hast heute bereits viele Rätsel gelöst und dabei drei Hinweise gefunden. Komme jetzt in den Sitzkreis. Nenne mir die drei Zahlen, die du bei den Rätseln erhalten hast.“

• „Bevor du heute das große Abschlussrätsel lösen kannst, ist es wichtig, dass du dich noch einmal an die anderen Rätsel erinnerst. Wirf dazu den Würfel und sage etwas zu der Aussage. Bilde eine Meldekette.“

Anweisungen zum Abschlussrätsel:

• „Die Hinweise, die du gefunden hast, brauchst du, um die Schatzkiste zu öffnen. Finde alle Möglichkeiten, diese Zahlen im Zahlenschloss einzugeben. Du kannst dir hierfür alle Materialien zur Hilfe nehmen und dich im Raum verteilen.“

• Aufgabenstellung auf dem Arbeitsblatt: Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Code zu knacken?

• „Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hast du gefunden?“ „Wir sammeln die Möglichkeiten an der Tafel mit den Farbplättchen.“

• „Beschreibe die Struktur. Was fällt dir auf?“

• „Wir haben alle Möglichkeiten gefunden. Finde die richtige Kombination heraus, indem du den Code löst.“

Abschluss und Urkundenübergabe:

• „Super, du hast alle Prüfungen geschafft und bist nun offiziell ein Mathe-Saargent. Hier ist deine Urkunde.“

2. Befehle für den Hund

Impuls zum Lieblingstrick:

• „Wie du siehst, befinden sich in der Schatzkiste nicht nur Süßigkeiten für dich. Vergiss dein Agentenmitglied Yuki nicht. Du darfst zum Abschluss deinen Lieblingstrick mit ihr durchführen.“

Mögliche Tricks, die zuvor erarbeitet wurden: „Sitz“, „Platz“, „Lass“, „Nimm“, „In die Hand“.

3. Aufgabenspezifische Hintergrundinformationen und mögliche Impulse

Hintergrundinformationen und Impulse zur Reflexionsrunde:

• „So bin ich vorgegangen …“

• „Das habe ich Neues gelernt …“

• „Diesen Trick habe ich entdeckt …“

• „Daran möchte ich zu Hause weiterforschen …“

• „Dabei hat mir Yuki geholfen …“

• „Diese Aufgabe hat mir am besten gefallen, weil …“

Hintergrundinformationen und Impulse zum Abschlussrätsel:

• „Erinnere dich erneut an die drei Zahlen, die du bei den vorherigen Rätseln erhalten hast (2,4,1).“

• „Finde alle Möglichkeiten die drei Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen, um den Code zu knacken. Nutze das Arbeitsmaterial.“

• „Auf den Arbeitsblättern kannst du alle Möglichkeiten aufschreiben. Verändere dabei die Reihenfolge der Zahlen.“

• „Du kannst auch die Zahlenkärtchen nutzen, um die Kombinationsmöglichkeiten zu finden. Verschiebe die Zahlenkärtchen und notiere dir die möglichen Codes.“

• „Du kannst die farbigen Plättchen benutzen, um die Möglichkeiten herauszufinden. Die Zahl 1 wird durch die Farbe grün dargestellt, die Zahl 2 durch die Farbe gelb und die Zahl 4 wird blau dargestellt. Die Farben der Zahlen kannst du auch den Zahlenkärtchen entnehmen.“

Hintergrundinformationen und Impulse zur Besprechung der Vorgehensweise beim kombinatorischen Rätsel:

• Falls die Schüler*innen nicht selbstständig die Struktur erfassen: „Wenn grün bzw. 1 vorne steht, dann können die beiden hinteren Farben getauscht werden. Wie sind die weiteren Farbplättchen sortiert?“

• „Du kannst diese Vorgehensweise auch bei zukünftigen Rätseln nutzen, um alle Möglichkeiten herauszufinden. Wenn du strukturiert vorgehst, kannst du alle Kombinationsmöglichkeiten finden.“

Hintergrundinformationen und Impulse zur Eingabe des Codes ins Abschlussrätsel:

• „Gebe die verschiedenen Codes ins Zahlenschloss ein, um den richtigen Code herauszufinden. Als Hilfe kannst du auf dem Arbeitsblatt die jeweilige Möglichkeit abhaken oder ein Kreuz in den Kreis setzen.“

Hintergrundinformationen zum Lieblingstrick:

• Falls sich die Schüler*innen nicht mehr genau an die Durchführung der Tricks erinnern, können die Studierenden die jeweiligen Befehle für den Hund wiederholen oder den Trick erneut vorführen.

Voraussetzungen

• Die Schüler*innen sollten ihren Lernprozess bezüglich ihrer mathematischen und der neu erworbenen tierspezifischen Fähigkeiten reflektieren können, um sich zu den Impulsen in der Reflexionsrunde äußern zu können.

• Die Schüler*innen sollten bereits „einfache Aufgaben zur Kombinatorik handelnd und zeichnerisch“ (MBFFK, 2009, S. 13) gelöst haben, um die Möglichkeiten des kombinatorischen Abschlussrätsels zu finden.

• Die Lernenden sollten soziale Kompetenzen besitzen, um in der Gruppenarbeit zu kooperieren und um das Rätsel fair und gemeinschaftlich zu lösen.

• Die Schüler*innen sollten bereits ein vertrautes Verhältnis zu dem Hund besitzen, die Regeln im Umgang mit Hunden kennen und das Vorgehen bei der Durchführung eines Tricks kennen, um den sichernden Abschlusstrick mit dem Hund durchführen zu können.

• Der Hund sollte die zuvor eingeführten Tricks (z.B. Sitz, Platz, Lass, …) sicher beherrschen, um den Anweisungen der Kinder folgen zu können.

• Außerdem sollte der Hund ruhig auf seinem Platz liegen können und sich nicht von den Kindern aus der Ruhe bringen lassen. Er sollte stets freundlich, rücksichtsvoll und kooperativ mit den Kindern umgehen.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Die letzte Phase der Lernumgebung wird auf mathematischer Ebene grundlegend durch das Abschlussrätsel bestimmt, bei dem die Lernenden einen Zahlencode lösen müssen, um eine Schatzkiste zu öffnen. Es handelt sich hierbei also um eine kombinatorische Aufgabe, in der die Schüler*innen herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, drei bekannte Zahlen anzuordnen. Das Ergebnis daraus bildet schließlich die vierte Zahl des Zahlencodes. Die Aufgabe ist demnach dem Inhaltsbereich der Stochastik, also der „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“ (MfBFFK, 2009, S. 21) zuzuordnen. Sie erfüllt insofern den Kernbereich der Kombinatorik, da es darum geht, herauszufinden, „welche Kombinationsmöglichkeiten es gibt [und] wie viele solcher Kombinationen möglich sind“ (Apfler, Musilek, Summer, 2023, S. 9). Fachlich handelt es sich dabei konkret um Kombinationen ohne Wiederholung, da jede der Zahl einmal verwendet werden kann (vgl. Tittmann, 2019, S. 7). Somit erhält man eine „geordnete Auswahl von k aus n Elementen der Menge M“, bei der „ohne Wiederholung […] jedes Element aus M höchstens einmal“ (ebd.) enthalten ist. In diesem Fall besteht die Menge M aus drei Elementen (n=3), die alle genau einmal auftreten sollen (k=3). Das erste Element des Codes kann aus „n Wahlmöglichkeiten“ (ebd.) bestimmt werden. Für die zweite Stelle gilt dann n-1 und für die k-te Stelle n-k+1 (vgl. ebd.). Im spezifischen Beispiel gibt es für die erste Stelle n=3 Möglichkeiten, für die zweite Stelle n-1=2 Möglichkeiten und für die dritte Stelle n-3+1=1 Möglichkeit. Um die Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung schließlich zu bestimmen, lässt sich die folgende Formel einsetzen (ebd.):

n(n-1)…(n-k+1)=n!/(n-k)!

Beim Eintragen der konkreten Zahlen in die Formel ergibt sich hierfür folgendes Ergebnis:

3(3-1)(3-3+1)=3!/(3-3)!

6=6

Bei der Bestimmung der Anzahl aller Möglichkeiten greift darüber hinaus auch das allgemeine Zählprinzip. Es besagt, dass wenn „ein Experiment aus n einfachen Teilversuchen [besteht], die unabhängig voneinander auszuführen sind, und gibt es k1 mögliche Ergebnisse für den 1. Teilversuch, k2 mögliche Ergebnisse für den 2. Teilversuch und kn mögliche Ergebnisse für den n-ten Teilversuch, dann hat das zusammengesetzte Experiment insgesamt k1∙k2∙…∙kn verschiedene mögliche Ergebnisse“ (Kütting & Sauer, 2008, S. 82, zit. n. Höveler, 2014, S. 20). Für das spezifische Beispiel bedeutet dies drei einfache Teilversuche für die drei Stellen des Codes. Für den ersten Teilversuch, also die erste Stelle, ergeben sich k1=3 mögliche Ergebnisse. Für den zweiten Teilversuch, also die zweite Stelle, ergeben sich dann k2=2 mögliche Ergebnisse und für den dritten Teilversuch, demnach die letzte Stelle des Codes, k3=1 mögliches Ergebnis. Insgesamt entstehen durch das allgemeine Zählprinzip also k1∙k2∙k3, also 3∙2∙1=6 mögliche Ergebnisse für das Experiment. Es ergeben sich schließlich sechs Möglichkeiten, um drei Zahlen ohne Wiederholung anzuordnen. Die Zahl sechs bildet dann auch die letzte Ziffer des Zahlencodes. Da ihre Position im Code feststeht, verändert sich nichts an den möglichen Ergebnissen. Die Lernenden haben weiterhin sechs mögliche Zahlencodes, die sie in das Zahlenschloss eingeben können.

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Lösungswege und Schwierigkeiten

Eine einfache Vorgehensweise zum Lösen des Abschlussrätsels ergibt sich durch Aufschreiben der verschiedenen Möglichkeiten, systematisch oder unsystematisch. Es wird empfohlen, konkretes Material bereitzustellen, um ein strukturiertes, also systematisches, Vorgehen zu ermöglichen (vgl. Neubert, 2022, 21 zit. n. Apfler, Musilek, Summer, 2023, 9). So können im Rahmen dieser Phase der Lernumgebung beispielsweise die farbigen Plättchen oder die Zahlenkärtchen herangezogen werden, um die verschiedenen Möglichkeiten zu legen. Von dieser enaktiven Ebene wird mit zunehmender Sicherheit im Umgang mit kombinatorischen Aufgaben zunächst zur ikonischen und zuletzt zur symbolischen Ebene übergegangen (vgl. ebd., 9). Beim unsystematischen Probieren besteht die Gefahr, dass nicht alle Lösungen oder Lösungen doppelt gefunden werden (vgl. ebd., 9). Dies kann wiederum zum Anlass für systematische Überlegungen genommen werden (vgl. ebd., 9). Beispielsweise eignet es sich bei der Kombination von drei Ziffern zunächst eine Stelle mit einer Ziffer zu besetzen (z. B. 1-2-3) und dann die jeweils anderen Stellen zu tauschen (z. B. 1-3-2). Zu den typischen Fehlern zählt dazu, dass dieser Tausch beim Auflisten der Möglichkeiten vergessen wird. In diesem Fall würden dann nur drei statt sechs Möglichkeiten gefunden werden. Es zeigte sich auch, dass die Bearbeitung anhand von Materialien zu einer höheren Lösungsrate führt, als ohne (vgl. Kipman, 2015, 66). Kinder, die unsystematisch arbeiten, scheitern bei komplexeren Aufgaben, wohingegen Kinder, die schon bei einfachen Aufgaben, Strategien verwenden, mit höherer Wahrscheinlichkeit schwierigere Aufgaben lösen (vgl. ebd., 66). Strategien wie Schieben oder Teilen funktionieren bei komplexeren Aufgaben nicht mehr.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

mathematische Ergiebigkeit (Kompetenzorientierung)

In der letzten Phase der Lernumgebung können sowohl prozess- als auch inhaltsbezogene Kompetenzen gefördert werden.

prozessbezogene Kompetenzen:

• Argumentieren: Im Rahmen der Reflexionsrunde formulieren die Schüler*innen anhand des Impulswürfels Begründungen und vollziehen Begründungen anderer nach. (vgl. KMK, 2022, 10)

• Kommunizieren: Anhand des Impulswürfels beschreiben und erklären die Schüler*innen ihre bereits gesammelten Lösungswege und Ergebnisse (vgl. ebd.). In diesem Zusammenhang vollziehen sie die verschiedenen Lösungen und Lösungswege nach. (vgl. ebd.)

• Problemlösen: Im Rahmen des kombinatorischen Abschlussrätsels entwickeln die Schüler*innen eine Lösungsidee sowie eine systematische Lösungsstrategie zum Öffnen der Schatzkiste. (vgl. ebd., 11).

inhaltsbezogene Kompetenzen:

• Daten und Zufall: Die Schüler*innen finden unter Verwendung heuristischer Hilfsmittel (Tabelle, Plättchen, Zahlenkärtchen) heraus, wie viele Möglichkeiten es gibt drei Zahlen in eine Reihenfolge zu bringen und lösen damit eine kombinatorische Fragestellung (vgl. ebd., 18). Zum Öffnen des Zahlenschlosses gehen sie systematisch vor (vgl. ebd.).

Offenheit und optimale Passung

Die Aufgabenstellung des Abschlussrätsels ist vorgegeben. Trotzdem kann es auf verschiedenen Wegen und unter Verwendung verschiedener Hilfsmittel gelöst werden und bietet damit Offenheit hinsichtlich des Lösungswegs. Die gegebenen Hilfsmittel bestehen in farblichen Legeplättchen, Zahlenkärtchen sowie einer tabellenartigen Auflistungsmöglichkeit auf dem Arbeitsblatt. Die Schüler*innen können frei entscheiden, welche Hilfsmittel sie verwenden oder ob sie überhaupt welche verwenden. Es gibt auch eine klare fachliche Rahmung, innerhalb welcher Offenheit gemäß individuellem Leistungsniveau gewährleistet ist (vgl. Krauthausen, 2018, 261). Die fachliche Rahmung besteht in der Fokussierung des Teilbereichs „Kombinatorik“ der fundamentalen Idee „Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit“. Im Sinne einer optimalen Passung zwischen individuellen Lernvoraussetzungen und Aufgabenangebot wurden den Schüler*innen zur Lösung der Aufgabe vielfältige Materialien zur Verfügung gestellt (vgl. Trautmann & Wischer, 2008, 160). Damit kann gewährleistet werden, dass verschiedene Lerntypen adressiert werden und jede*r das für sich passende Angebot auswählen kann.

Authentizität, Aktivierung & Motivation

Die Authentizität des Abschlussrätsels kann mit ihrem Realitätsbezug begründet werden, denn im realen Leben könnte es durchaus vorkommen, dass man ein Zahlenschloss nach einigen Jahren wieder verwenden möchte, aber nicht mehr genau weiß, in welcher Reihenfolge die Zahlen eingestellt werden müssen (vgl. Eichler, 2015, 106). Es geht insgesamt um die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, etwas zu kombinieren. Diese Überlegung kann auch in vielen anderen realen Situationen, wie z. B. Händeschütteln mehrerer Personen, farbliche Kombination von Kleidung oder Zusammenstellung von Eiskugeln, vorkommen. Daran lässt sich eine zukünftige oder aktuelle Bedeutsamkeit des Inhalts erkennen (vgl. Maier, 2011, 80). Ist die Fragestellung für die Schüler*innen interessant, dann erleben sie die Aufgabe als sinnvoll (vgl. ebd., 81). Auch strukturorientierte Aufgaben, wie es im Abschlussrätsel mit seiner zu bewältigenden Herausforderung der Fall ist, sind neben anwendungsbezogenen bedeutsam (vgl. Schütte, 2008, 87 zit. n. Maier, 2011, 81). Anhand der strukturierten Vorgehensweise beim Lösen des Rätsels entsteht ein Bild von Mathematik als Wissenschaft der Muster und Strukturen. Mathematik ist auch dann authentisch, wenn im Unterricht ein lebendiges Bild von Mathematik entsteht und dabei individuelle Lernprozesse ermöglich werden (vgl. Wittmann, 1991, 675, zit. n. Maier, 2011, 81). Dies wurde den Schüler*innen im Rahmen der Lernumgebung ermöglicht, denn sie konnten die Aufgabe auf selbst gewählte Art und Weise lösen. Die Phase der Lernumgebung teilt den Schüler*innen eine aktive Rolle beim Wissensaufbau zu und verfolgt damit die Ziele konstruktivistischer Lernkonzepte (vgl. Pauli et al., 2008, 128). Die kognitive Aktivierung besteht dabei im selbstständigen Lösen des Abschlussrätsels, welches die Schüler*innen vor ein „Problem“ stellt, denn nur mithilfe der Anzahl der Möglichkeiten kann das Zahlenschloss geöffnet werden (vgl. ebd., 128). Motiviert werden die Schüler*innen vor allem durch den Rätselcharakter der Aufgabe sowie dem damit verbundenen Ziel, die Schatzkiste zu öffnen und den sich darin befindenden Schatz zu erhalten. Damit ist das Abschlussrätsel im Wesentlichen der Leistungsmotivation zuzuordnen, da auf ein angestrebtes Ziel hingearbeitet wird (vgl. Krauthausen, 2018, 287). Es muss jedoch bedacht werden, dass häufig verschiedene Motivationsarten zusammenspielen (vgl. ebd., 287).

Verständlichkeit

Die letzte Phase der Lernumgebung wurde in kindgerechter Sprache verfasst. Es wurde darauf geachtet, dass alle Begriffe bekannt sind. Auf Fachbegriffe wurde weitgehend verzichtet. Die Arbeitsaufträge und Impulse wurden operationalisiert sowie in klarer, verständlicher Sprache formuliert. Die generelle Satzstruktur beschränkt sich dabei auf kurze, einfache Sätze. Die gewählte Darstellungsweise der Stellen des Zahlencodes anhand einer großen Tabelle ist zudem sehr anschaulich, was das Verständnis zusätzlich vereinfacht.

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Artikulationsoptionen „Handeln“, „Sprechen“ und „Schreiben“

Gemäß Wollring (2008) setzt sich eine Lernumgebung aus „einem Netzwerk kleinerer Aufgaben“ (S.5) zusammen, welche „durch bestimmte Leitgedanken zusammen gebunden werden“ (ebd.). In der Didaktik gelten dabei sechs Leitideen zur Kennzeichnung einer Lernumgebung (vgl. ebd.). Im Fokus wird nachfolgend die Leitidee 2 „Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation“ (ebd., S. 7) stehen: Im Sinne der Leitidee 2 werden in der letzten Phase der Lernumgebung die Artikulationsformen Handeln, Sprechen und Schreiben integriert (vgl. ebd.). Die Integration der drei Artikulationsformen ergibt sich daraus, dass die Lernenden ihre Lernwege auf vielfältige Weisen darstellen (vgl. ebd.). Die Umsetzung gelingt in der letzten Phase der Lernumgebung, indem verschiedene Materialien und Dokumentationsformen angeboten werden. Die Schüler*innen handeln, indem sie die bunten Plättchen bzw. die Zahlenkärtchen kombinatorisch in verschiedene Reihenfolgen legen, um den Abschlusscode zu ermitteln und indem sie den Abschlusscode durch das Eingeben ins Zahlenschloss herausfinden. Im letzten Teil der Lernumgebung wird zudem geschrieben, denn die Lernenden füllen die Arbeitsblätter zum Abschlussrätsel aus. Die Artikulationsoption des Sprechens wird abgedeckt, indem die Schüler*innen ihren Lernprozess im Sitzkreis verbal reflektieren und indem sie die möglichen Zahlencodes angeben sowie die Vorgehensweise beim Lösen eines kombinatorischen Rätsels beschreiben.

„Raum zum Gestalten“ und „Raum zum Behalten“

Weiterführend wird der „Raum zum Gestalten“ (Wollring, 2008, S.8) in den Blick genommen, welcher ein weiterer Aspekt der Leitidee 2 darstellt. Dieser Aspekt zeichnet sich dadurch aus, dass in der Lernumgebung veränderbare Materialien angeboten werden (vgl. ebd.). In den Planungen der letzten Phase wird auf eine Öffnung der Abschlussaufgabe insofern Rücksicht genommen, indem verschiedene Materialien zur Lösung des Rätsels zur Verfügung stehen. Das kombinatorische Rätsel wird durch verschiedene Repräsentanten visualisiert, sodass der Lernweg für die Schüler*innen frei wählbar ist. Neben einem Arbeitsblatt, welches das Aufschreiben der verschiedenen Kombinationen ermöglicht, werden auch farbige Plättchen und Zahlkärtchen angeboten, welche enaktiv nutzbar sind. Auch in der Zusammenarbeit mit dem Hund „Yuki“ wird dieser „,Spiel-Raum´“ (ebd., S.8) realisiert, denn die Schüler*innen erhalten zum Abschluss die Möglichkeit ihren jeweiligen Lieblingstrick mit dem Hund durchzuführen. Dieser Arbeitsauftrag ermöglicht den Lernenden ein Nachgehen der eigenen Interessen und bildet somit einen motivationsförderlichen Abschluss mit dem Hund. Außerdem wird durch die individuelle Wahl des Lieblingstricks eine Sicherung des Umgangs mit dem Hund gewährleistet. Nach Wollring (2008) lässt eine Lernumgebung den sogenannten „Raum zum Behalten“ (S.8) zu, welcher „alle Formen der Dokumentation [umfasst], die für späteres Arbeiten bleiben sollen“ (Anm. der Verf., ebd.). Die Schüler*innen können ihre Arbeitsblätter, die das strukturierte Vorgehen beim Lösen kombinatorischer Rätsel visualisieren, in ihren eigenen Unterlagen abheften und zukünftig darauf zurückgreifen. Die Urkunde stellt ein weiteres Dokument zum Behalten dar. Diese dient zur Motivationsförderung für zukünftige mathematische Projekte und als Wertschätzung der gelösten Rätsel, welche gemeinsam mit Yuki bearbeitet werden. Die Urkunde stärkt das Zusammengehörigkeitsgefühl in der Gruppe, indem die Urkundenüberreichung gemeinsam zelebriert wird.

Verwendete Sozialformen

Ein weiteres Merkmal guter Lernumgebungen stellt die „Möglichkeit[ ] zur Kooperation“ (Wollring, 2008, S.8) und zum Austausch dar. Hierbei ermöglicht der Wechsel zwischen verschiedenen Sozialformen unterschiedliche Formen der Zusammenarbeit. Laut Meyer (2020) ist die Variation der Vielfalt an Methoden ein Merkmal guten Unterrichts (vgl. S.74). In der fünften Phase der Lernumgebung wurden die Sozialformen Plenumsunterricht, Gruppenunterricht und Einzelarbeit integriert und variiert. Die Reflexion des Lernprozesses im Sitzkreis bietet dabei die Möglichkeit, dass ein Gespräch „auf gleicher Augenhöhe“ (Mattes, 2011, S.108) im Plenum entstehen kann. Folglich erhalten die Schüler*innen im Plenumsunterricht die Chance sich frei zu ihren Lernwegen und zum Umgang mit Yuki zu äußern. Zur Lösung des Abschlussrätsels werden die Lernenden gebeten, in ihren Agentenbüros zu arbeiten. Dies schränkt die Kooperation zwischen den Lernenden zwar ein, hat aber zum Vorteil, dass die Einzelarbeit ein individuelles und konzentriertes Arbeiten erlaubt (vgl. ebd., S.44). Im Anschluss dazu findet die Besprechung der individuellen Lernwege und der Möglichkeiten des kombinatorischen Rätsels erneut im Plenumsunterricht an der Tafel statt. Eine weitere Variation der Sozialform wird möglich, indem die Schüler*innen die Eingabe der verschiedenen Codes in Gruppenarbeit lösen. Hierbei werden die Kooperationsfähigkeit und die Sozialkompetenz der Lernenden gefördert, denn sie müssen sich in der Gruppe auf das Vorgehen und die Arbeitsverteilung einigen (vgl. ebd., S.66). Da der Umgang mit dem Hund unterschiedliche Ziele fördert und je nach Kind andere Auswirkungen zur Folge hat, dürfen die Schüler*innen als Abschluss ihren Lieblingstrick in Einzelarbeit mit dem Hund wiederholen.

Gemeinsame Reflexion in der Schlusssequenz

Im Sinne der „Klare[n] Strukturierung“ (Anm. der Verf., Meyer, 2020, S. 25), was ein Merkmal guten Unterrichts darstellt, sollte sich ein „gut erkennbarer ,roter Faden´ durch die Stunde zieh[en]“ (Anm. der Verf., ebd., S. 26). Dementsprechend wird in der abschließenden Phase eine Reflexion aller mathematischen Rätsel und der Zusammenarbeit mit Yuki durchgeführt, um alle Phasen der Lernumgebung gemeinsam zu reflektieren. Hierbei werden verschiedene Reflexionsfragen auf einem Würfel präsentiert, sodass durch Zufall über den Gesprächsinhalt entschieden wird. Die Reflexionsimpulse beziehen sich auf die mathematischen Inhalte, wie „Daran möchte ich zu Hause weiterforschen …“ oder auf den Einsatz des Therapiebegleithundes, wie „Dabei hat mir Yuki geholfen …“. Manche Impulse sind allgemein gehalten, sodass individuelle Antworten entstehen können. Ein Beispiel hierfür wäre der Impuls „So bin ich vorgegangen …“. Das jeweilige Kind kann sich mit Hilfe des Impulses zu allen Phasen der Lernumgebung äußern, sodass eine umfassende Reflexion der Arbeitswege und -ergebnisse entstehen kann.

Potenzial des Einsatzes von Materialien

Investives Material

Unter dem investiven Material versteht man den „bleibenden Bestand“ (Wollring, 2008, S. 10), also jenes Material, welches in der Hand der Lehrperson verbleibt. Als investives Material wird in der Lernumgebung ein Reflexionswürfel mit Impulsen zur Reflexion, Plättchen und große Zahlenkärtchen mit großer leerer Tabelle als Arbeitsmittel eingesetzt. Ebenso zählt die Schatzkiste mit Zahlenschloss zu dem investiven Material, welches nach Ende der Durchführung bei den Lehrenden verbleibt.

Erlernen des Umgangs mit den Arbeitsmitteln sowie dem Hund

Der Umgang mit den Arbeitsmitteln wird in der jeweiligen Situation erlernt. So erklärt die Lehrperson in der einleitenden Reflexionsphase den Umgang mit dem Reflexionswürfel. Die Plättchen nutzen die Schüler*innen optional zur Lösung des kombinatorischen Rätsels. Der Umgang mit diesem Arbeitsmittel erfolgt intuitiv ohne weitere Erklärung der Lehrperson. Auch der Umgang mit der leeren Tabelle und mit der Schatzkiste bzw. dem Zahlenschloss wird in der Situation durch die Lehrperson instruiert. Der Umgang mit dem Hund wird insbesondere durch die ersten beiden Gruppen erlernt. In der hier beschriebenen Phase der Lernumgebung wenden die Schüler*innen das zuvor gelernte an.

Konsumtives Material

Das konsumtive Material, welches durch die Schüler*innen bei der Arbeit verbraucht wird (vgl. Wollring, 2008, S. 10), besteht aus dem Arbeitsblatt sowie der Urkunde. Die Materialien sind unter fachdidaktischen Gütekriterien qualitativ hochwertig gestaltet und zudem ästhetisch ansprechend und optisch passend zu dem Saargenten-Motto (vgl. Krauthausen, 2018, S. 334).

Organisation des Materials

Der Reflexionswürfel wird den Schüler*innen durch die Lehrperson ausgehändigt und nach der gemeinsamen Reflexion wieder zur Seite geräumt. Die Plättchen als Arbeitsmittel zur Lösung des kombinatorischen Abschlussrätsels erhalten die Schüler*innen in einem Umschlag, den sie sich von einem Tisch in der Mitte des Raumes holen und mit in ihr Agentenbüro nehmen dürfen, um dort die Aufgabe zu lösen. Durch die vorgefertigten Umschläge erhält jedes Kind die passende Anzahl an Plättchen jeder Farbe. Das Arbeitsblatt erhalten die Schüler*innen ebenso auf dem Tisch in der Mitte des Raumes. Anschließend heften die Schüler*innen das Arbeitsblatt in ihr Klemmbrett, in dem sich bereits die anderen konsumtiven Materialien der vorhergehenden Phasen befinden. Bei der Besprechung des Rätsels nutzt die Lehrperson ebenso Plättchen an der Tafel. Diese werden vor der Durchführung griffbereit bereitgelegt. Sobald das Rätsel gelöst wurde und die Schüler*innen die letzte Lösungszahl erhalten, stellt die Lehrperson den Schüler*innen im Sitzkreis die leere Tabelle zur Verfügung, in der sie die großen Zahlenkärtchen anordnen können. Anschließend wenden sich die Schüler*innen dem Öffnen der Schatzkiste zu. Die Schatzkiste befindet sich bereits über die gesamte Phase hinweg im Sichtfeld der Schüler*innen. Dadurch werden die Motivation und die Neugierde der Schüler*innen geweckt. Nachdem das Abschlussrätsel gelöst wurde, wird die Schatzkiste in die Mitte des Sitzkreises gut sichtbar positioniert, sodass die Schüler*innen das Zahlenschloss und damit die Schatzkiste kooperativ öffnen können. Die Organisation des Materials kann dem Anhang entnommen werden.

Funktionen der Arbeitsmittel

Der Reflexionswürfel dient als Anleitung der Reflexion, sodass diese selbstgesteuert durch die Schüler*innen erfolgen kann. Der Würfel bietet den Schüler*innen Impulse zur Reflexion. Die Plättchen fungieren als Arbeitsmittel zur Lösung des kombinatorischen Rätsels. Die Lehrperson nutzt ebenso magnetische Plättchen an der Tafel, um die Lösungen der Schüler*innen zu besprechen und zusammenzutragen. Insgesamt fungieren die Plättchen also als Mittel zur Darstellung mathematischer Sachverhalte, da sie zur Zahldarstellung eingesetzt werden und die Lösungszahlen ersetzen. Darüber hinaus unterstützen die Plättchen das Ausführen mathematischer Verfahren, konkret das kombinieren der Zahlen oder Farben zum Finden aller Kombinationsmöglichkeiten. Des Weiteren werden die Plättchen als Mittel zum Argumentieren und Beweisen eingesetzt, denn bei der Besprechung können die Schüler*innen anhand der Anordnung der Plättchen die Regelhaftigkeit der Kombinatorik zu erkennen. Somit sind alle drei Funktionen von Arbeitsmitteln nach Krauthausen (2018) erfüllt. Die großen Zahlenkärtchen visualisieren die gefundenen Lösungszahlen, die dann in der leeren Tabelle korrekt angeordnet werden.

Fachdidaktisches Potenzial der Arbeitsmittel

Das fachdidaktische Potenzial des Reflexionswürfels liegt in der Anregung von Reflexionsprozessen. Dadurch rufen sich die Schüler*innen die bearbeiteten Aufgaben erneut ins Gedächtnis. Durch die Verbalisierung ihrer Gedanken wird zudem die prozessbezogene Kompetenz „Kommunizieren“ (MfBFFK, 2009a, S. 6) gefördert. Das Potenzial des Arbeitsblatts liegt in seiner Strukturierung. Nachdem die Schüler*innen die kombinatorische Aufgabe gelöst haben, können sie das Arbeitsblatt zur strukturierten Findung der korrekten Lösungskombination nutzen. Durch die Felder, die neben jeder Lösungsmöglichkeit abgehakt werden können, notieren die Schüler*innen welche Codes sie bereits versucht haben und welche noch übrig sind. So unterstützt diese Strukturierungsmaßnahme die Schüler*innen bei der kooperativen Öffnung der Schatzkiste. Die verschiedenfarbigen Plättchen werden als Arbeitsmittel zur Darstellung des kombinatorischen Sachverhalts eingesetzt. Einerseits dienen sie als Hilfs- bzw. Differenzierungsmittel, das den Schüler*innen bei der Bearbeitung der Aufgabe helfen kann. Andererseits erfordern die Plättchen Kompetenzen zur Abstraktion, da nicht mit Zahlen, sondern mit Farben operiert wird. Ebenso werden durch die Plättchen individuelle Bearbeitungswege ermöglicht (vgl. Krauthausen, 2018, S. 334).

„Preis-Leistungs-Verhältnis“ der Lernumgebung

Das „Preis-Leistungs-Verhältnis“ der Lernumgebung kann als ausgeglichen beurteilt werden. Der Zeit- und Materialaufwand zur Vorbereitung der Lernumgebung ist überschaubar. Aufgrund des vergleichsweise vielen investiven Materials ist die Vorbereitungszeit der Lernumgebung, insbesondere bei einer weiteren Durchführung, gering. Das konsumtive Material kann ebenso mit geringem Zeitaufwand erstellt und ggf. angepasst werden. Jedoch muss der monetäre Aufwand der Lernumgebung erwähnt werden. Kostenpflichtig angeschafft werden müssen sowohl der Reflexionswürfel sowie die Schatzkiste mit dem Zahlenschloss. Die Kosten für diese Materialien müssen einmalig aufgewendet werden. Danach können jedoch alle drei Materialien auch weiterhin fächerübergreifend genutzt werden. Der Reflexionswürfel kann Reflexionen in allen anderen Fächern anleiten oder auch mit neuen Kärtchen bestückt werden, um in ganz anderen Situationen verwendet zu werden. Mit der Schatzkiste und dem Zahlenschloss können in allen Fächern bspw. Escape Rooms in anderen Fächern durchgeführt werden.

Zuwendung der Lehrperson

Durch den Reflexionswürfel ist in der Anfangsphase wenig Zuwendung der Lehrperson notwendig. Die Reflexion kann größtenteils eigenständig durch die Schüler*innen erfolgen. Durch eine Meldekette leiten die Schüler*innen selbstständig durch die Reflexion. Dabei nimmt die Lehrperson die Zuhörerrolle ein und stellt ggf. Rückfragen oder weitere geeignete Impulse. In der Phase, in der die Schüler*innen das Rätsel lösen und besprechen, wird mehr Zuwendung durch die Lehrperson benötigt. Sie instruiert die Schüler*innen und leitet die Besprechung des Rätsels. Am Ende, wenn die Schüler*innen kooperativ die Schatzkiste öffnen, nimmt sich die Lehrperson erneut zurück. Schließlich leitet die Lehrperson dann noch durch die Durchführung der Lieblingstricks und vergibt die Urkunden, ehe die Schüler*innen nach Hause entlassen werden.

Evaluation

Strategiedokumente

Das Arbeitsblatt dient als Strategiedokument. Daraus geht hervor, welche Strategie die Schüler*innen bei der Bearbeitung des kombinatorischen Rätsels genutzt haben. So kann anhand der Reihenfolge der notierten Lösungen erkannt werden, ob die Schüler*innen die Aufgabe strategiebasiert oder willkürlich bearbeitet haben.

Anerkennenswerte Schülerlösung

Die Aufgabe: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Code zu knacken?“ impliziert, alle 6 Lösungskombinationen zu finden. Nur so kann man auch die letzte Lösungszahl korrekt bestimmen. Dennoch ist jede Kombinationsmöglichkeit, die die Schüler*innen finden, anerkennenswert. Mit jeder korrekten Zahlenkombination wird der Lösungsfortschritt sichtbar und das Selbstkonzept der Lernenden gestärkt. Angestrebt ist jedoch das Finden aller Lösungsmöglichkeiten.

Beitrag zum sozialen Miteinander

Die Lösung des kombinatorischen Rätsels ist der erste Schritt hin zu der kooperativen Öffnung der Schatzkiste gemeinsam durch alle Kinder. Die Lernenden tragen ihre Lösungen zusammen und finden gemeinsam durch Ausprobieren heraus, mit welcher Zahlenkombination sich das Zahlenschloss an der Schatzkiste öffnen lässt.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld

Lernumgebungen sind „in der Regel schwerpunktmäßig einem bestimmten mathematischen Gegenstand gewidmet“, meist „stehen sie im Sinne einer beziehungsmäßigen Mathematik auch im Kontakt mit mehreren verschiedenen mathematischen Gegenständen, Darstellungsformen oder Argumentationsmustern“ (Wollring, 2008, S. 21). Man kann also sagen, dass „Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld […] eine Lernumgebung im engeren Sinne [kennzeichnen]“ (ebd.). Da es sich innerhalb dieser Lernumgebung um eine kombinatorische Aufgabe handelt, ist es möglich dieses mathematische Problemfeld zu erweitern. Während hier eine Anwendungsmöglichkeit „zur Kombinatorik durch systematisches Vorgehen“ (MfBFFK, 2009a, S. 21) angedacht ist, ergibt sich für eine vorangegangene Lehr-, Lernaktivität eine Einführungsstunde in die Kombinatorik. Es wäre außerdem eine hinführende Aufgabe, mit den Lernenden das systematische Vorgehen kombinatorischer Aufgaben zu erarbeiten. Weiterführend ergibt sich nach der Lernumgebung die Möglichkeit, das kombinatorische Handlungsfeld zu erweitern. Eine darauf aufbauende Aufgabenstellung könnte lauten, dass die Schüler*innen nun alle Möglichkeiten finden sollen, den Zahlencode zu lösen, wenn die Ziffer sechs keine feste Position zugeschrieben bekommt. Das bedeutet, die Lernenden müssten Kombinationen ohne Wiederholung von vier Ziffern lösen und erzielen somit ein größeres Ergebnisfeld. Um die mathematisch begabten Schüler*innen zu fördern und das kombinatorische Problemfeld zu erweitern, kann zudem der Aspekt der Wahrscheinlichkeit hinzugefügt werden, bei der es darum geht, die „Häufigkeit von Ereignissen durch kombinatorische Überlegungen [zu] bestimmen und [zu] begründen“ (ebd., S. 29). Eine Möglichkeit wäre es diesbezüglich bei einem „Zahlenschloss“ (ebd.), die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, also die Wahrscheinlichkeit, dass einer der Zahlencodes eintritt, zu berechnen. Eine Aufgabenstellung könnte hierzu lauten, dass sich die Lernenden für einen Zahlencode entscheiden und dessen Gewinnchance einschätzen sollen.

Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht

Eine weitere Vernetzung von Lernumgebungen „beschreibt die Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht“ (Wollring, 2008, S. 21). Kombinatorische Aufgaben können beispielsweise eng an Sachrechenaufgaben gekoppelt sein, da sich hier die Möglichkeit ergibt „Zahlenrätsel [zu] lösen“ und darüber hinaus „aus Informationen diejenigen heraus[zu]finden, die zur Lösung eines Problems erforderlich sind“ (MfBFFK, 2009a, S. 17). Während des Lösens kombinatorischer Aufgaben können darüber hinaus Erkenntnisse der Leitidee Muster und Strukturen einfließen, indem die Lernenden Muster erkennen, beschreiben und nutzen, um eine Aufgabe einfacher und schneller zu lösen (vgl. ebd., S. 19). Sie können beispielsweise für das Herausfinden der Zahlenfolgen die Struktur wählen, bei der sie die hinteren Zahlen tauschen und erst dann die vordere wechseln.

Beziehungen zu anderen Fächern

Die Vernetzung zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht „werden umfasst durch die Beziehungen zu anderen Fächern in der Grundschule, zu Sprachen, Sachunterricht, Religion, Sport, Kunst und Musik“ (Wollring, 2008, S. 21). Die Reflexionsphase enthält Beziehungen zu dem Fach Deutsch, indem die Lernenden im Kompetenzbereich „Sprechen und Zuhören“ „orientiert an der Standardsprache zuhörerbezogen, situationsgerecht und themenbezogen sprechen“, „Gesprächs- und Textinhalte zuhörend verstehen“ sowie „über Lernen sprechen“ (MfBFFK, 2009b, S. 24). Die Bedeutung der Teamarbeit während des Öffnens der Kiste kann ferner zu Aspekten des Sachunterrichts gezählt werden, indem die Schüler*innen „Teamfähigkeit trainieren durch Absprachen bei gemeinsamen Aufgaben“ (MfB, 2010, S. 40). Zuletzt findet sich die Thematik der Körpersprache beim Lernen der Tricks vor allem auch im Sportunterricht wieder. Dadurch dass der Therapiebegleithund das Verhalten und die Körpersprache der Schüler*innen spiegelt, verbessern sie ihre Wahrnehmungsfähigkeit der eigenen Bewegungen. Sie lernen also ihren „eigenen Körper und die eigene Belastungsfähigkeit genau einschätzen zu können“, was „von großer Bedeutung für die Entwicklung des Körper- und Selbstbildes der Heranwachsenden“ (MfB, 2011, S. 4) ist.

Beziehungen zur außerschulischen Lebenswelt

Lernumgebungen können zuletzt in Beziehungen zur außerschulischen Lebenswelt stehen (vgl. Wollring, 2008, S. 21). Im außerschulischen Leben der Schüler*innen erhält das Spielkonzept eine große Rolle. Die Lernenden spielen gerne erlebnisreiche Spiele oder gehen Herausforderungen ein. Ein spielerisches Lernen mit der Aussicht ein Problem zu lösen, kann somit das Interesse der Lernenden wecken. Die Kombinatorik des Abschlussrätseln findet sich darüber hinaus in der Lebenswelt der Lernenden wieder. Die Schüler*innen sind es gewohnt, Alltägliches in ihrem Umfeld zu kombinieren. Dies betrifft beispielsweise das Auswählen und das Kombinieren ihrer Kleidung am Morgen oder die Auswahl und die Kombination von Eissorten an der Ladentheke (s.o.).

Reflexion der Lernumgebung

Stolpersteine

Für die Lernumgebung ergeben sich einzelne Stolpersteine, die im Vorhinein bedacht werden müssen. In der Reflexionsrunde zu Beginn wäre es problematisch, wenn die Schüler*innen ihren eigenen Lernprozess nicht reflektieren können, wenn sie sich nicht an die Rätsel und den Umgang mit dem Hund erinnern oder ihr Vorgehen nicht verbalisieren können. Darüber hinaus könnte es sein, dass die Schüler*innen unaufmerksam sind und den Äußerungen der anderen Lernenden nicht folgen, wodurch Störungen auftreten können. Zur Vorbeugung dieser Problematik dient der Reflexionswürfel, der den Schüler*innen Satzanfänge vorgibt und somit als Impuls die Reflexion erleichtert. Darüber hinaus sind mathematische Schwierigkeiten bei der kombinatorischen Aufgabe möglich, wenn die Schüler*innen bisher keine Aufgaben zur Kombinatorik gelöst haben und somit kein Vorwissen diesbezüglich mitbringen. Für diesen Fall wurde Arbeitsmittel vorbereitet, welche einen handelnden Zugang zur Aufgabe ermöglichen. Des Weiteren können die Lernenden Schwierigkeiten in der Kooperation während der Gruppenarbeit haben. Wenn die Schüler*innen keine oder wenige soziale Kompetenzen besitzen und keine Teamfähigkeit in der Agentengruppe entwickelt haben oder es keine positive Lernatmosphäre herrscht, könnte es zu Schwierigkeiten bei dem Lösen und Öffnen des Zahlenschlosses kommen. Da die Lernenden in dieser Phase bereits den ganzen Vormittag miteinander verbracht und Aufgaben gelöst haben, werden die Schüler*innen vermutlich aufeinander eingespielt sein. Zuletzt können ebenfalls Schwierigkeiten bei der Durchführung des Lieblingstricks auftreten, wenn die Schüler*innen nicht die Verhaltensregeln im Umgang mit dem Hund einhalten oder nicht die Kommandos beziehungsweise ihre Körpersprache bei der Ausführung des Tricks beachten. In diesem Moment kann sich eine Lernbegleitung hinter das Kind stellen und den Trick mit dem Kind zusammen durchführen, sodass dieses dennoch mit einem positiven Gefühl und einer Selbstsicherheit abschließen kann.

Grenzen der Lernumgebung

Für jede Lernumgebung können Grenzen festgestellt werden, die eine Durchführung nicht möglich machen. Zunächst ist es unumgänglich zu erfragen, ob die Schüler*innen Angst vor dem (Therapiebegleit-)Hund besitzen oder ob es für die Kinder möglich ist, überhaupt eine Vertrauensbasis zu dem Tier aufzubauen. Wenn dies nicht möglich ist, sollte die Lernumgebung nicht mit diesen Lernenden durchgeführt werden, da sie allein durch die Präsenz des Tieres in Panik geraten könnten. In Bezug auf den Schutz des Hundes muss geprüft werden, ob eine hundefreundliche Umgebung geschaffen werden kann (vgl. Blesch, 2020, S.50). Wenn dies nicht der Fall ist, kann der Hund offensichtlich nicht an diesem Ort arbeiten und bei der Lernumgebung teilnehmen. Ein weiterer Punkt, der hier bedacht werden muss, sind die fehlenden Lernvoraussetzungen bezüglich der mathematischen Kompetenzen in Bezug auf das kombinatorische Vorwissen. Die Lernumgebung kann nicht als Einführung in die Kombinatorik gesehen werden, weshalb hier eventuelle Probleme auftreten können. In diesem Fall wäre es jedoch möglich, die Lernumgebung durch eine Einführung in die Kombinatorik zu ergänzen und sie so dennoch durchführen zu können.

Literatur

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