Optimale Flächenapproximation durch Treppenfunktionen/1-x^2/2 Zwischenschritte/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}0\leq x\leq y\leq 1$ die Markierungen der möglichen Intervallunterteilungen. Der Flächeninhalt der zugehörigen maximalen unteren Treppenfunktion von ${}f$ ist

${}{\begin{aligned}g(x,y)&=x(1-x^{2})+(y-x)(1-y^{2})\\&=x-x^{3}+y-y^{3}-x+xy^{2}\\&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y.\end{aligned}}$

Die partiellen Ableitungen davon sind

${\frac {\partial g}{\partial x}}=-3x^{2}+y^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial g}{\partial y}}=-3y^{2}+2xy+1.$

Wir bestimmen die kritischen Punkte. Aus der ersten Gleichung folgt

${}y={\sqrt {3}}x\,$

(den negativen Fall kann man ausschließen). Wir setzen ${}x={\frac {1}{\sqrt {3}}}y$ in die zweite Gleichung ein und erhalten die Bedingung

${}-1=-3y^{2}+{\frac {2}{\sqrt {3}}}y^{2}={\frac {-3{\sqrt {3}}+2}{\sqrt {3}}}y^{2}\,,$

woraus

${}y={\frac {3^{1/4}}{\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}={\frac {3^{1/4}\cdot 3^{1/4}}{3^{1/4}\cdot {\sqrt {3{\sqrt {3}}-2}}}}={\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,$

folgt. Daher ist

${}x={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\,$

und der einzige kritische Punkt ist

$\left({\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}},\,{\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}\right).$

Die Hesse-Matrix von ${}g$ ist

${\begin{pmatrix}-6x&2y\\2y&-6y+2x\end{pmatrix}}.$

Im kritischen Punkt ist der Eintrag links oben negativ. Die Determinante ist

${}36xy-12x^{2}-4y^{2}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-12-4{\sqrt {3}}^{2}\right)}=x^{2}{\left(36{\sqrt {3}}-24\right)}>0\,$

positiv, so dass die Hesse-Matrix negativ definit ist und daher im kritischen Punkt ein Maximum vorliegt. Da es auch in einer geeigneten (kleinen) offenen Umgebung des abgeschlossenen Definitionsbereiches keinen weiteren kritischen Punkt gibt, liegt ein absolutes Maximum vor. Der Wert ist

${}{\begin{aligned}&=-x^{3}-y^{3}+xy^{2}+y\\&=x{\left(-x^{2}-3{\sqrt {3}}x^{2}+3x^{2}+{\sqrt {3}}\right)}\\&=x{\left(x^{2}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\left({\frac {1}{9-2{\sqrt {3}}}}{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {{\left(2-3{\sqrt {3}}\right)}{\left(9+2{\sqrt {3}}\right)}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {-23{\sqrt {3}}+69{\sqrt {3}}}{69}}\\&={\frac {1}{\sqrt {9-2{\sqrt {3}}}}}{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\\&={\frac {2}{\sqrt {9{\sqrt {3}}-6}}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe