Ordnungsstruktur/Unendliche Teilmengen von N+/Reelles halboffenes Einheitsintervall/Bijektiv/Kein Isomorphismus/Aufgabe

Es sei ${}M$ die Menge aller unendlichen Teilmengen von ${}\mathbb {N} _{+}$, versehen mit der Inklusion als Ordnung, und es sei ${}[0,1[$ das rechtsseitig offene reelle Einheitsintervall mit der Kleinergleich-Relation als Ordnung. Zeige, dass die Abbildung

$\Psi \colon M\longrightarrow [0,1[,\,T\longmapsto \sum _{n\not \in T}{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{n},$

eine bijektive, ordnungstreue Abbildung ist, deren Umkehrabbildung nicht ordnungstreu ist.

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