Orthogonales Vektorfeld/Kreise als Lösungen/Beispiel

Wir betrachten das (zeitunabhängige) Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-y,x).$

Hier steht also der Richtungsvektor ${}F(t,x,y)=(-y,x)$ stets senkrecht auf dem Ortsvektor ${}(x,y)$, und ihre Normen stimmen überein. Man erwartet kreisförmige Bewegungen. In der Tat ist zur Anfangsbedingung ${}v(0)=(r,0)$ die Kurve

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\left(r\cos t,r\sin t\right)},$

die eindeutige Lösung.