Orthonormalisierungsverfahren/(2,1,0),(1,0,-1),(0,0,3)/Aufgabe/Lösung

Der Vektor ${}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ besitzt die Norm ${}{\sqrt {5}}$, somit ist

${}u_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu ${}u_{1}$ sein und zusammen mit ${}u_{1}$ den Untervektorraum ${}\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}\rangle$ aufspannen. Dies führt zum Ansatz

${}0=\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\lambda +1\\\lambda \\-1\end{pmatrix}}\right\rangle =2+5\lambda \,,$

so dass

${}\lambda =-{\frac {2}{5}}\,$

ist. Somit ist

${}w_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{5}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Die Norm dieses Vektors ist ${}{\frac {\sqrt {30}}{5}}$. Der normierte Vektor zu ${}w_{2}$ ist demnach

${}u_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,.$

Der dritte Vektor muss senkrecht auf ${}u_{1}$ und ${}u_{2}$ (bzw. auf ${}w_{1}$ und ${}w_{2}$) stehen. Ein solcher Vektor ist

${}w_{3}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\,.$

Daher kann man

${}u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,$

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.

Zur gelösten Aufgabe