Der Vektor
besitzt die Norm
, somit ist
-
![{\displaystyle {}u_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{\sqrt {5}}}\\{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb29d8be975e2e6b60e3cf9bf6b31a62d2524e4)
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu
sein und zusammen mit
den Untervektorraum
aufspannen. Dies führt zum Ansatz
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![{\displaystyle {}0=\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\lambda +1\\\lambda \\-1\end{pmatrix}}\right\rangle =2+5\lambda \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931f95be71e64b4be1f768cf8711e97fb5b62ce6)
sodass
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![{\displaystyle {}\lambda =-{\frac {2}{5}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b75bc340c6d43dae6f847579c26c3f430bbd41)
ist. Somit ist
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![{\displaystyle {}w_{2}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}-{\frac {2}{5}}{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{5}}\\-{\frac {2}{5}}\\-1\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f2c3d7434e4d0ffd1e25457ed04c63909a81ae)
Die Norm dieses Vektors ist
. Der normierte Vektor zu
ist demnach
-
![{\displaystyle {}u_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {2}{\sqrt {30}}}\\-{\frac {5}{\sqrt {30}}}\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba18991cbfa1e3b18a28fae2508538ee3efa9df)
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
(bzw. auf
und
) stehen. Ein solcher Vektor ist
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![{\displaystyle {}w_{3}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e521587a7689ba69cd5a65b3917e581a1df5763b)
Daher kann man
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![{\displaystyle {}u_{3}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\{\frac {2}{\sqrt {6}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e883057fd4f118a31152d48cd069b3ebb9a267)
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.