Parabel/Deckel/Schwerpunkt/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}T={\left\{(x,y)\mid 1\leq x\leq 1,\,x^{2}\leq y\leq 1\right\}}\,$

die in Frage stehende Fläche. Der Flächeninhalt von ${}T$ ist

${}{\begin{aligned}2-\int _{-1}^{1}x^{2}dx&=2-{\frac {1}{3}}x^{3}{|}_{-1}^{1}dx\\&=2-{\frac {2}{3}}\\&={\frac {4}{3}}.\end{aligned}}$

Die ${}x$-Koordinate des Schwerpunktes von ${}T$ ist wegen der Symmetrie gleich ${}0$. Zur Bestimmung der ${}y$-Koordinate des Schwerpunktes berechnen wir

${}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}\int _{x^{2}}^{1}ydydx&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}y^{2}\right)}{|}_{x^{2}}^{1}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}x^{4}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{10}}x^{5}\right)}dx\\&=1-{\frac {1}{5}}\\&={\frac {4}{5}}.\end{aligned}}$

Die ${}y$-Koordinate des Schwerpunktes ist somit gleich

${}{\frac {4}{5}}/{\frac {4}{3}}={\frac {3}{5}}\,,$

der Schwerpunkt liegt also in ${}\left(0,\,{\frac {3}{5}}\right)$.

Zur gelösten Aufgabe