Parabolid/R/Nullpunkt/Total differenzierbar/Direkt/Beispiel

Wir zeigen direkt, dass die Funktion

${}f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,$

im Nullpunkt ${}(0,0)$ total differenzierbar ist, und zwar mit der Nullabbildung als totales Differential. Dazu muss man nur zeigen, dass in der Gleichung

${}f((0,0)+(x,y))=f(x,y)=x^{2}+y^{2}=f(0,0)+0\cdot (x,y)+\Vert {(x,y)}\Vert r(x,y)=\Vert {(x,y)}\Vert r(x,y)\,$

die Funktion ${}r(x,y)$ die verlangten Eigenschaften besitzt. Wegen ${}\Vert {(x,y)}\Vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ ist aber ${}r(x,y)={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und diese Funktion ist stetig im Nullpunkt mit dem Wert ${}0$.