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Parallelotop/Erzeugter Unterraum/2 0 0 1 und 1 -1 2 0 und -1 0 2 1/Aufgabe/Lösung
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Parallelotop/Erzeugter Unterraum/2 0 0 1 und 1 -1 2 0 und -1 0 2 1/Aufgabe
Sei
v
1
=
(
2
0
0
1
)
,
v
2
=
(
1
−
1
2
0
)
und
v
3
=
(
−
1
0
2
1
)
.
{\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\0\end{pmatrix}}{\text{ und }}v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\0\\2\\1\end{pmatrix}}.}
Die Skalarprodukte haben die Werte
⟨
v
1
,
v
1
⟩
=
5
,
⟨
v
2
,
v
2
⟩
=
6
,
⟨
v
3
,
v
3
⟩
=
6
,
,
{\displaystyle \left\langle v_{1},v_{1}\right\rangle =5,\,\left\langle v_{2},v_{2}\right\rangle =6,\,\left\langle v_{3},v_{3}\right\rangle =6,,}
⟨
v
1
,
v
2
⟩
=
2
,
⟨
v
1
,
v
3
⟩
=
−
1
,
⟨
v
2
,
v
3
⟩
=
3.
{\displaystyle \left\langle v_{1},v_{2}\right\rangle =2,\,\left\langle v_{1},v_{3}\right\rangle =-1,\,\left\langle v_{2},v_{3}\right\rangle =3.}
Die Determinante der Matrix
(
5
2
−
1
2
6
3
−
1
3
6
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&6&3\\-1&3&6\end{pmatrix}}}
ist
180
−
6
−
6
−
6
−
45
−
24
=
93
.
{\displaystyle {}180-6-6-6-45-24=93\,.}
Das Volumen des Parallelotops ist also
93
{\displaystyle {}{\sqrt {93}}}
.
Zur gelösten Aufgabe
