Partiell differenzierbar/Sonst keine Richtungsableitung/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}f(x,y):={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x=0{\text{ oder }}y=0\,,\\1{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Die partiellen Ableitungen sind die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren ${}e_{1}$ bzw. ${}e_{2}$. Für jeden Richtungsvektor ${}v=(a,b)$ geht es um die Existenz des Limes

${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((0,0)+tv)}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}\,.$

Bei ${}a=0$ oder ${}b=0$ ist der Zähler konstant gleich ${}0$, so dass der Limes existiert. Somit existieren die partiellen Ableitungen. Wenn hingegen ${}a$ und ${}b$ beide nicht ${}0$ sind, so ist

${}f((ta,tb))=1\,$

und dann existiert der Limes

${}\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {f((ta,tb))}{t}}=\operatorname {lim} _{t\rightarrow 0}\,{\frac {1}{t}}\,$

nicht.

Zur gelösten Aufgabe