Partielle Ableitung/R/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}$, die durch

$(x,y,z)\longmapsto {\left(xy^{2}-z^{3},\sin(xy)+x^{2}\cdot \exp z\right)}=(f_{1}(x,y,z),f_{2}(x,y,z))$

gegeben sei. Die partiellen Ableitungen von ${}f_{1}$ sind

${\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y^{2},\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=2xy,\,{\frac {\partial f_{1}}{\partial z}}=-3z^{2},$

und die partiellen Ableitungen von ${}f_{2}$ sind

${\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos(xy)+2x\cdot \exp z,\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cdot \cos(xy),\,{\frac {\partial f_{2}}{\partial z}}=x^{2}\cdot \exp(z).$

Damit erhalten wir für einen beliebigen Punkt ${}P=(x,y,z)$ die Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}y^{2}&2xy&-3z^{2}\\y\cos(xy)+2x\exp(z)&x\cos(xy)&x^{2}\exp(z)\end{pmatrix}}.$

Für einen speziellen Punkt, z.B. ${}P=(2,1,3)$, setzt man einfach ein:

${\begin{pmatrix}1&4&-27\\\cos(2)+4\exp(3)&2\cos(2)&4\exp(3)\end{pmatrix}}.$