Partition/Verband/Gleichlange Ketten/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen und es sei ${}V$ die Menge aller Partitionen auf ${}M$, versehen mit der Verfeinerung ${}\preccurlyeq$ von Partitionen als Ordnungsrelation. Es sei

${}P_{1}\preccurlyeq P_{2}\preccurlyeq \ldots \preccurlyeq P_{s-1}\preccurlyeq P_{s}\,$

eine endliche Folge von Partitionen auf ${}M$ mit echten Verfeinerungen, die man weder nach links noch nach rechts noch im Innern verfeinern kann. Zeige

${}s=n$.

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