Passende Halbkreise/Differenzierbarkeit/Aufgabe/Lösung

1. Skizze.
2. Die erste Kreisgleichung ist

   ${}(x-1)^{2}+y^{2}=1\,,$

   die zweite Kreisgleichung ist

   ${}(x-3)^{2}+y^{2}=1\,.$

   Also ist

   ${}f(x)={\begin{cases}{\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{\text{ für }}0\leq x\leq 2\,,\\{\sqrt {1-(x-3)^{2}}}{\text{ für }}2<x\leq 4\end{cases}}\,$

   eine beschreibende Funktion.

3. Die Funktion ist an der Stelle ${}2$ nicht differenzierbar. Der Differenzenzenquotient für ${}x<2$ ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(2)}{x-2}}&={\frac {\sqrt {1-(x-1)^{2}}}{x-2}}\\&={\frac {\sqrt {-x^{2}+2x}}{x-2}}\\&=-{\frac {\sqrt {x(2-x)}}{2-x}}\\&=-{\frac {{\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}{2-x}}\\&=-{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {2-x}}}.\end{aligned}}$

   Für ${}x\rightarrow 2$ ist der Limes des Zählers ${}{\sqrt {x}}$ gleich ${}{\sqrt {2}}$ und der Limes des Nenners ${}{\sqrt {2-x}}$ ist ${}0$. Deshalb divergiert der Differenzenquotient bestimmt gegen ${}-\infty$ und somit existiert der Differentialquotient nicht.

Zur gelösten Aufgabe