Peano-Arithmetik/Vollständige Erweiterung/Nicht N/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt liegt eine echte Erweiterung ${}PA\subset \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ vor. Es gibt somit Sätze ${}\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ mit ${}\alpha \notin PA$. Es ist ferner ${}\neg \alpha \notin PA$, da andernfalls ${}\mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ widersprüchlich wäre. Es ist ${}PA\cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei, da man sonst aus ${}PA$ den Satz ${}\alpha$ ableiten könnte, was wegen der Abgeschlossenheit unter Ableitungen und wegen ${}\alpha \notin PA$ nicht der Fall ist. Nach dem Vollständigkeitssatz gibt es somit ein Modell ${}M$ mit

${}PA\cup \{\neg \alpha \}\subseteq M_{0}^{\vDash }\,.$

Dabei ist ${}M_{0}^{\vDash }$ vollständig. Wegen ${}\neg \alpha \in M_{0}^{\vDash }$ und ${}\neg \alpha \notin \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$ ist

${}M_{0}^{\vDash }\neq \mathbb {N} _{0}^{\vDash }$.

Zur gelösten Aufgabe