Peano-Axiome/Nachfolger/Fixpunktfrei/Antiperiodisch/Aufgabe/Lösung

1. Wir zeigen die Aussage

   ${}Nx\neq x\,$

   durch Induktion über ${}x$. Bei

   ${}x=0\,$

   ergibt sich ${}N0\neq 0$ unmittelbar aus dem Axiom, dass ${}0$ kein Nachfolger ist. Es sei die Aussage für ${}x$ richtig, also

   ${}Nx\neq x\,.$

   Die Gleichheit

   ${}NNx=Nx\,$

   wäre in Verbindung mit der Induktionsvoraussetzung ein direkter Widerspruch zur Injektivität der Nachfolgerabbildung. Also ist

   ${}NNx\neq Nx\,$

   und die Aussage ist bewiesen.

2. Es sei nun ${}\ell$ und

   ${}N^{\ell }=N\circ \cdots \circ N\,$

   fixiert. Wir zeigen

   ${}N^{\ell }(x)\neq x\,$

   durch Induktion über ${}x$. Bei ${}x=0$ ergibt sich

   ${}N^{\ell }(0)\neq 0\,,$

   da sonst ${}0$ der Nachfolger von ${}N^{\ell -1}(0)$ wäre. Es sei die Aussage nun für ${}x$ richtig, also

   ${}N^{\ell }(x)\neq x\,.$

   Nehmen wir an, dass die Gleichheit

   ${}N^{\ell }Nx=Nx\,$

   gilt. Wegen

   ${}N^{\ell }(N(x))=N(N^{\ell }(x))\,$

   folgt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung direkt

   ${}N^{\ell }x=x\,$

   im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Also ist

   ${}N^{\ell }Nx\neq Nx\,$

   und die Aussage ist bewiesen.

Zur gelösten Aufgabe