Peano-Halbring/Division mit Rest/Eindeutigkeit/Aufgabe/Lösung

Es gelte

${}qd+r=q'd+r'\,$

mit

${}0\leq r,r'<d\,.$

Ohne Einschränkung können wir ${}q'\geq q$ annehmen. Dann ist

${}q'=q+u\,$

mit einem ${}u\in M$ und somit ist

${}qd+r=q'd+r'=(q+u)d+r'=qd+ud+r'\,.$

Aufgrund der Abziehregel ergibt sich

${}r=ud+r'\,.$

Bei ${}u\neq 0$ ist ${}u\geq 1$ nach Fakt. Dann ergibt sich der Widerspruch

${}d=ud+r'\geq ud\geq d\,$

wegen der Verträglichkeit der Ordnung mit der Multiplikation. (siehe Fakt). Also ist ${}u=0$ und damit ${}q'=q$ und

${}r'=r$.

Zur gelösten Aufgabe