Peano-Halbring/Ideal/Bezout/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein Peano-Halbring und ${}x,y\in M$. Es sei

${}I:={\left\{u\in M\mid \exists a\exists b\exists c\exists d{\text{ mit }}u+ax+by=cx+dy\right\}}\,.$

Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes ${}v\in M$ derart gibt, dass ${}I$ aus sämtlichen Vielfachen von ${}v$ besteht. Zeige, dass ${}v$ der größte gemeinsame Teiler von ${}x$ und ${}y$ ist.

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