Peano-Halbring/Kürzungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Seien ${}x,y\in M$ fixiert. Wir betrachten die Aussage, dass für alle ${}z$ die angegebene Eigenschaft gilt, also dass aus ${}x+z=y+z$ schon ${}x=y$ folgt. Diese Eigenschaft ist erststufig formulierbar. Sie gilt für ${}z=0$ nach Axiom  (3). Nehmen wir an, sie gilt für ein bestimmtes, aber beliebiges ${}z$. Wir müssen die Aussage für ${}z+1$ zeigen. Es ist also

${}x+(z+1)=y+(z+1)\,.$

Aufgrund von Axiom  (4) gilt daher

${}(x+z)+1=(y+z)+1\,$

und nach Axiom  (2) folgt

${}x+z=y+z\,.$

Die Induktionsvoraussetzung liefert

${}x=y\,.$

Für die Kürzungsregel siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage