Peano-Halbring/Nichtarchimedische Modelle/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\Gamma$ die Menge der aus den erststufigen Peano-Axiomen ableitbaren Ausdrücke. Wir betrachten die Ausdrücke ${}\alpha _{n}$ mit

${}\alpha _{n}=\neg {\left(x=1+1+\cdots +1\right)}\,,$

wobei rechts die ${}n$-fache formale Summe der ${}1$ mit sich selbst steht. Es sei

${}\Delta ={\left(\Gamma \cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{\alpha _{n}\}\right)}^{\vdash }\,.$

Diese Menge ist widerspruchsfrei, da jede endliche Teilmenge davon widerspruchsfrei ist, da sie in ${}\mathbb {N}$ mit einer hinreichend großen Belegung für ${}x$ erfüllbar ist. Nach Fakt ist also auch ${}\Delta$ erfüllbar, und es sei ${}M$ ein erfüllendes Modell. Es gibt dann in ${}M$ ein Element ${}m\in M$, wodurch ${}x$ belegt wird. Dieses ${}m$ ist dann von allen natürlichen Zahlen, die in ${}M$ natürlicherweise eingebettet sind, verschieden, und somit ist

${}M\neq \mathbb {N}$.

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