Peano-Halbring/Ordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Reflexivität folgt direkt aus Axiom  (3). Die Transitivität ergibt sich unmittelbar, da ja ${}x\geq y$ und ${}y\geq z$ bedeutet, dass es ${}u,v\in M$ mit ${}x=y+u$ und mit ${}y=z+v$ gibt, woraus sich

${}x=z+v+u\,,$

also ${}x\geq z$ ergibt. Zum Beweis der Antisymmetrie sei ${}x\geq y$ und ${}y\geq x$, also ${}x=y+u$ und ${}y=x+v$ mit gewissen ${}u,v\in M$. Dann gilt auch

${}x=x+u+v\,.$

Aus der Abziehregel folgt

${}0=u+v\,.$

Wären ${}u,v$ nicht beide ${}0$, so würde nach Fakt beispielsweise ${}u=t+1$ gelten und damit

${}0=(t+v)+1\,,$

ein Widerspruch zu Axiom  (1). Dass ${}0$ das kleinste Element ist, folgt direkt aus Axiom  (3). Die Verträglichkeit mit der Addition ergibt sich direkt, die mit der Multiplikation folgt aus dem Distributivgesetz. Bei ${}x\neq 0$ ist ${}x=t+1$ nach der Vorgängereigenschaft und daher ${}x\geq 1$. Zum Nachweis der totalen Ordnung seien ${}x,y\in M$ gegeben. Wir beweisen die Eigenschaft, dass zu festem ${}x$ für alle ${}y$ die Eigenschaft ${}(x\geq y)\vee (y\geq x)$ gilt, durch Induktion über ${}y$. Bei ${}y=0$ ist dies klar. Es sei die Aussage nun für ein ${}y$ bewiesen. Bei ${}y\geq x$ gilt erst recht ${}y+1\geq x$. Es sei also ${}x\geq y$, wobei wir uns direkt auf ${}x>y$ beschränken können. Dies bedeutet ${}x=y+u$ und ${}u\neq 0$ und somit ${}u\geq 1$. Also ist ${}x\geq y+1$.

Zur bewiesenen Aussage