Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Beide Teilaussagen können wegen des ersten Peano-Axioms nicht zugleich wahr sein. Es geht also um die Aussage

$\forall x{\left({\left(x=0\right)}\vee {\left(\exists u{\left(x=u+1\right)}\right)}\right)},$

die wir durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang für ${}x=0$ ist durch den linken Bestandteil gesichert. Es sei also die Aussage für ein gewisses ${}x$ schon bewiesen, und sie ist für ${}x+1$ zu beweisen. Bei ${}x=0$ ist ${}x+1=0+1$, sodass man ${}u=0$ nehmen kann. Bei ${}x=u+1$ ist

${}x+1=(u+1)+1\,$

und somit kann man ${}u+1$ nehmen.

Zur bewiesenen Aussage