Pellsche Gleichung/Zahlbereich/Motivation/Textabschnitt

Betrachten wir eine Zahlbereichserweiterung

${}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} {\sqrt {D}}\,$

mit einer ganzen Zahl ${}D$, die beiden Fälle ${}D=7$ und ${}D=-1$ haben wir schon etwas genauer in den Blick genommen (es sei ${}D$ quadratfrei, enthalte also keinen Primfaktor mehrfach). Auch der Frage, wie in diesen Ringen die Einheiten aussehen, sind wir schon begegnet. Betrachten wir allgemein die Bedingung, ob es zu ${}a+b{\sqrt {D}}$ ein Element ${}c+e{\sqrt {D}}$ mit

${}{\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}{\left(c+e{\sqrt {D}}\right)}=1\,.$

Wenn ${}a$ und ${}b$ nicht teilerfremd sind, so kann es keine Lösung geben, seien also ${}a$ und ${}b$ teilerfremd. Dann folgt aus

${}bc+ae=0\,,$

dass bis auf einen gemeinsamen Vorfaktor

${}c=fa\,$

und

${}e=-fb\,$

gilt, und der Vorfaktor muss ${}1$ oder ${}-1$ sein. Die Frage nach den Einheiten ist also im Wesentlichen die Frage, ob

${}{\left(a+b{\sqrt {D}}\right)}{\left(a-b{\sqrt {D}}\right)}=a^{2}-b^{2}D=\pm 1\,.$

Es geht also darum, welche ganzzahligen Lösungen bei gegebenem ${}D$ die Gleichung

${}x^{2}-y^{2}D=\pm 1\,$

besitzt. Man spricht von der Pellschen Gleichung, deren Lösungsverhalten wesentlich von ${}D$ positiv oder negativ abhängt.