Pendel/Geführte Bewegung/Beispiel

Kraefte am Fadenpendel groß.svg

Wir betrachten ein Pendel. Das Pendel habe die Länge und sei im Punkt fest aufgehängt. Die Bahn des Pendels, also der Ort, wo der Endpunkt des Pendels schwingt, ist der Kreis mit diesem Mittelpunkt und dem Radius . Diese Bahn ist der Graph der Funktion

und es handelt sich um eine geführte Bewegung im Sinne von Fakt. Hier ist es einfacher, die Bewegungsgleichung nicht als anzusetzen, sondern als eine Bedingung für den (Ausschlags-) Winkel der Bewegung, also als , wobei der Winkel zwischen dem vertikalen Lot und dem Auslenkungsfaden gemessen wird. Es besteht der Zusammenhang

Der Winkel ist auch die Länge des Bogens, vom Tiefpunkt aus gemessen. Mit der Gravitationskraft ergibt sich die Differentialgleichung

Dies erhält man auch aus Fakt. Es ist

und

Die allgemeine Bewegungsgleichung

wird in diesem Fall zu

Mit

ist die linke Seite gleich

und unter Verwendung von

und

ist die rechte Seite gleich

Der Term kommt beidseitig vor, also ist

und Division durch ergibt