Permutation/10/Explizites Beispiel/Aufgabe/Kommentar

Für jedes ${}P$ berechnet man das Bild von ${}P$ unter ${}\sigma ^{2}$ durch

$P\mapsto \sigma (P)\mapsto \sigma (\sigma (P)).$

Also z.B. ${}\sigma ^{2}(1)=4$, da ${}1\mapsto 7\mapsto 4.$ Auf diese Weise erhält man die Wertetabelle für ${}\sigma ^{2}$, und ähnlich für ${}\sigma ^{3}$.

Um die Zyklendarstellung für ${}\sigma$ zu erhalten, muss man alle Zyklen von ${}\sigma$ finden. Sei ${}P$ beliebig. Der Zykel von ${}\sigma$, der ${}P$ enthält, wird durch Bestimmen des minimalen ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ mit

$P\mapsto \sigma (P)\mapsto \sigma ^{2}(P)\mapsto \cdots \mapsto \sigma ^{n}(P)=P$

gefunden. In diesem Fall ist

$Z=\langle P,\sigma (P),\dots ,\sigma ^{n-1}(P)\rangle$

ein Zykel von ${}\sigma$. Die Bestimmung von ${}n$ und damit von ${}Z$ kann leicht mit der Wertetabelle von ${}\sigma$ erfolgen. Sei nun ${}Q\not \in Z$. Ähnlich wie zuvor kann man einen Zykel ${}Z'$ von ${}\sigma$ finden, der ${}Q$ enthält. Wenn man dieses Verfahren fortsetzt, erhält man alle Zyklen von ${}\sigma$ in endlich vielen Schritten.

Die Zyklendarstellungen für ${}\sigma ^{2}$ und ${}\sigma ^{3}$ kann man wie oben aus ihren Wertetabellen ableiten. Man kann diese Darstellungen aber auch direkt aus der Zyklendarstellung von ${}\sigma$ erhalten. Zum Beispiel ist

$Z=\langle 1,7,4,9,8\rangle$

ein Zykel von ${}\sigma$. Dann sieht man leicht, dass

${\hat {Z}}=\langle 1,4,8,7,9\rangle$

ein Zykel von ${}\sigma ^{2}$.

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