Permutation/Matrix/Zuordnung/Beispiel/3/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}M_{\pi }={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

b) Nach Konstruktion ist

${}M_{\pi }(e_{j})=e_{\pi (j)}\,,$

da dies die ${}j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit

${}M_{\pi \rho }=M_{\pi }\circ M_{\rho }\,$

lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen

${}{\left(M_{\pi }\circ M_{\rho }\right)}(e_{i})=M_{\pi }(M_{\rho }(e_{i}))=M_{\pi }(e_{\rho (i)})=e_{\pi (\rho (i))}=M_{\pi \rho }(e_{i})\,.$

c) Mit der Leibniz-Formel ist

${}\det M_{\pi }=\sum _{\rho \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\rho )a_{1\rho (1)}\cdots a_{n\rho (n)}\,.$

Das Produkt ist nur in dem einen Fall

${}\rho =\pi ^{-1}\,$

nicht ${}0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ${}0$ ist. Also ist

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})a_{1\pi ^{-1}(1)}\cdots a_{n\pi ^{-1}(n)}=\operatorname {sgn} (\pi ^{-1})=\operatorname {sgn} (\pi )\,.$

Zur gelösten Aufgabe