Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt/Beweis2

Beweis

Zunächst ist das Signum wirklich gleich ${}1$ oder ${}-1$. Dies beruht darauf, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner der Definition des Signums zu jedem Indexpaar ${}i\leq j$ die positive oder die negative Differenz ${}\pm (i-j)$ vorkommt.

Seien zwei Permutationen ${}\sigma$ und ${}\tau$ gegeben. Dann ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\sigma \circ \tau )&=\prod _{i<j}{\frac {(\sigma \circ \tau )(j)-(\sigma \circ \tau )(i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j}{\frac {(\sigma \circ \tau )(j)-(\sigma \circ \tau )(i)}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}\prod _{i<j}{\frac {\tau (j)-\tau (i)}{j-i}}\\&={\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)<\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)>\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\tau )\\&={\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)<\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (j))-\sigma (\tau (i))}{\tau (j)-\tau (i)}}\right)}{\left(\prod _{i<j,\,\tau (i)>\tau (j)}{\frac {\sigma (\tau (i))-\sigma (\tau (j))}{\tau (i)-\tau (j)}}\right)}\,\operatorname {sgn} (\tau )\\&=\prod _{k<\ell }{\frac {\sigma (\ell )-\sigma (k)}{\ell -k}}\operatorname {sgn} (\tau )\\&=\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau ).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage