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Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung
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Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt
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Beweis
|
Aufgabe
Wir schreiben
sgn
(
π
)
=
∏
i
<
j
π
(
j
)
−
π
(
i
)
j
−
i
=
∏
(
i
,
j
)
∈
F
π
(
j
)
−
π
(
i
)
j
−
i
∏
(
i
,
j
)
∉
F
π
(
j
)
−
π
(
i
)
j
−
i
=
(
−
1
)
k
∏
(
i
,
j
)
∈
F
π
(
i
)
−
π
(
j
)
j
−
i
∏
(
i
,
j
)
∉
F
π
(
j
)
−
π
(
i
)
j
−
i
=
(
−
1
)
k
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{i<j}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k}\prod _{(i,j)\in F}{\frac {\pi (i)-\pi (j)}{j-i}}\prod _{(i,j)\not \in F}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=(-1)^{k},\end{aligned}}}
da nach dieser Umordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner das Produkt aller positiven Differenzen steht.
Zur gelösten Aufgabe