Permutation/Zykel/Signumsberechnung/Aufgabe/Lösung

1. Gemäß der Definition des Signums ist

   ${}{\begin{aligned}\operatorname {sgn} (\pi )&=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {\pi (j)-\pi (i)}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<j=n}{\frac {\pi (n)-\pi (i)}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {j+1-(i+1)}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<n}{\frac {1-(i+1)}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j\leq n-1}{\frac {j-i}{j-i}}\cdot \prod _{1\leq i<n}{\frac {-i}{n-i}}\\&=1\cdot \prod _{1\leq i<j=n}(-1)^{n-1}{\frac {i}{n-i}}\\&=\prod _{1\leq i<j=n}(-1)^{n-1}{\frac {1\cdot 2\cdots (n-2)(n-1)}{(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}}\\&=(-1)^{n-1}.\end{aligned}}$

2. Wir bestimmen die Fehlstände der Permutation. Zu ${}i<j<n$ liegt kein Fehlstand vor. Dagegen liegt zu ${}i<n$ stets ein Fehlstand vor. Es gibt also insgesamt ${}n-1$ Fehlstände, und das Signum ist ${}(-1)^{n-1}$.
3. Die Permutation ${}\pi$ kann man als Produkt der Transpositionen

   ${}\pi =\langle 1,2\rangle \circ \langle 2,3\rangle \circ \cdots \circ \langle n-1,n\rangle \,$

   darstellen, da ja ${}n$ mit jeder Transposition um ${}1$ nach unten transportiert wird und jede Zahl ${}i<n$ durch die Transposition ${}\langle i,i+1\rangle$ auf ${}i+1$ abgebildet wird, was von den Transpositionen weiter links nicht mehr verändert wird. Es liegt also eine Zerlegung in ${}n-1$ Transpositionen vor und das Signum ist ${}(-1)^{n-1}$.

Zur gelösten Aufgabe