Permutationen/Gerade und ungerade/Anzahl/Aufgabe/Lösung

Wegen der Voraussetzung gibt es eine Transposition ${}\tau$, die wir fixieren. Es sei ${}G$ die Menge der geraden und ${}U$ die Menge der ungeraden Permutationen. Wir betrachten die Abbildung

$G\longrightarrow U,\,\pi \longmapsto \pi \circ \tau .$

Dies ist eine wohldefinierte Abbildung aufgrund der Tatsache, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist und dass das Signum einer Transposition gleich ${}-1$ ist. Die Abbildung ist bijektiv, und zwar ist die Multiplikation mit ${}\tau$ von rechts die Umkehrabbildung. Also besitzen ${}G$ und ${}U$

die gleiche Anzahl an Elementen.

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