Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}F$ die Fixpunktmenge von ${}\sigma$ und es seien ${}Z_{1},\ldots ,Z_{k}$ diejenigen Teilmengen von ${}M$ mit mindestens zwei Elementen derart, dass ${}\sigma$ die Elemente aus jedem ${}Z_{i}$ zyklisch vertauscht. Dann ist ${}M$ die disjunkte Vereinigung aus ${}F$ und den ${}Z_{i}$. Zu ${}i$, ${}1\leq i\leq k$, sei ${}\sigma _{i}$ der Zykel auf ${}M$, der auf ${}M\setminus Z_{i}$ die Identität ist und auf ${}Z_{i}$ mit ${}\sigma$ übereinstimmt. Wir behaupten

${}\sigma =\sigma _{1}\cdots \sigma _{k}\,.$

Um dies einzusehen, sei ${}x\in M$ beliebig. Bei ${}x\in F$ ist ${}x$ ein Fixpunkt für alle ${}\sigma _{i}$ und daher kommt links und rechts wieder ${}x$ raus. Es sei also ${}x$ kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört ${}x\in Z_{i}$ für genau ein ${}i$. Für alle ${}j\neq i$ ist ${}x$ ein Fixpunkt von ${}\sigma _{j}$. Da

${}y=\sigma (x)\,$

ebenfalls zu ${}Z_{i}$ gehört, ist auch ${}y$ ein Fixpunkt von ${}\sigma _{j}$ für alle ${}j\neq i$. Wendet man daher die rechte Seite auf ${}x$ an, so wird ${}x$ auf ${}x$ abgebildet bis man zu ${}\sigma _{i}$ kommt. Dieses bildet ${}x$ auf ${}y$ ab und die folgenden ${}\sigma _{j}$ bilden ${}y$ auf ${}y$ ab, sodass die rechte Seite insgesamt ${}x$ auf ${}y$ schickt und daher mit ${}\sigma$ übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage