Das Polynom hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer
Transposition das Vorzeichen um ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn
und miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor der Faktor und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird auf abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ein Vielfaches von ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.
Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der
Faktorialität
von zu zeigen, dass ein Teiler von ist
().
Wir schreiben in den neuen Variablen als
-
Dann ist einerseits
-
und anderseits
(da signumsinvariant ist)
-
Daraus folgt wegen
,
dass für gerade
sein muss. Insbesondere ist
.
Also ist
,
wie behauptet.