Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Bemerkung

Es sei

${}v'=Mv\,$

eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ und es sei eine Anfangsbedingung ${}v(0)=w$ gegeben. Wir behaupten, dass die ${}n$-te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

${}\varphi _{n}(t)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)t^{k}\,$

ist, wobei ${}M^{\circ k}$ die ${}k$-fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach ${}n$. Für ${}n=0$ steht rechts einfach die konstante Kurve ${}w$. Es sei die Aussage nun für ${}n$ schon bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{n+1}(t)&=w+\int _{0}^{t}M(\varphi _{n}(s))ds\\&=w+\int _{0}^{t}M{\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}M^{\circ k}(w)s^{k}\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M{\left(M^{\circ k}(w)\right)}ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\int _{0}^{t}s^{k}M^{\circ k+1}(w)ds\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(k+1)}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{(k+1)!}}t^{k+1}M^{\circ k+1}(w)\\&=w+\sum _{\ell =1}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\\&=\sum _{\ell =0}^{n+1}{\frac {1}{\ell !}}t^{\ell }M^{\circ \ell }(w)\end{aligned}}$

und die Aussage ist auch für ${}n+1$ richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ ${}tM$. Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf ${}\mathbb {R}$ konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).