Polygonzugverfahren/Ortsunabhängig/Beziehung zu Treppenfunktionen/Beispiel

Bei einer eindimensionalen ortsunabhängigen Differentialgleichung

${}y'=g(t)\,$

ergibt sich ${}y$ einfach als eine Stammfunktion zu ${}g$. Wendet man in dieser Situation Fakt zum Startzeitpunkt ${}t_{0}$, zum Startpunkt ${}c$ und zur Schrittweite ${}s$ an, so ergibt sich die rekursive Beziehung

$P_{0}=c{\text{ und }}P_{n+1}=P_{n}+sg(t_{0}+ns).$

Daher ist offenbar

$P_{n}=c+s{\left(g(t_{0})+g(t_{0}+s)+g(t_{0}+2s)+\cdots +g(t_{0}+(n-1)s)\right)}\,.$

D.h. dass man zu dem Ausgangswert ${}c$ das Treppenintegral zur äquidistanten Unterteilung ${}t_{0},t_{0}+s,t_{0}+2s,\ldots ,t_{0}+(n-1)s$ (und zur durch $g(t_{0}+ks)$ auf dem Teilintervall ${}[t_{0}+ks,t_{0}+(k+1)s[$ gegebenen Treppenfunktion) hinzuaddiert. Der zugehörige Streckenzug ist die (stückweise lineare) Integralfunktion zu dieser Treppenfunktion.