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Polynom/C/Lokaler Exponent/2/Aufgabe/Lösung
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Polynom/C/Lokaler Exponent/2/Aufgabe
Es ist
f
(
z
)
=
z
4
−
2
z
2
+
1
=
(
z
2
−
1
)
2
=
(
(
z
−
1
)
(
z
+
1
)
)
2
=
(
z
−
1
)
2
(
z
+
1
)
2
{\displaystyle {}f(z)=z^{4}-2z^{2}+1=(z^{2}-1)^{2}=((z-1)(z+1))^{2}=(z-1)^{2}(z+1)^{2}\,}
und
f
′
(
z
)
=
2
(
z
−
1
)
(
z
+
1
)
2
+
2
(
z
−
1
)
2
(
z
+
1
)
=
2
(
z
−
1
)
(
z
+
1
)
(
z
+
1
+
z
−
1
)
=
4
(
z
−
1
)
(
z
+
1
)
z
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(z)&=2(z-1)(z+1)^{2}+2(z-1)^{2}(z+1)\\&=2(z-1)(z+1)(z+1+z-1)\\&=4(z-1)(z+1)z.\end{aligned}}}
Die Nullstellen
0
,
1
,
−
1
{\displaystyle {}0,1,-1}
sind alle einfach, daher ist der lokale Exponent in diesen Punkten gleich
2
{\displaystyle {}2}
, in allen anderen Punkten ist er gleich
1
{\displaystyle {}1}
.
Zur gelösten Aufgabe
