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Polynom/C/Lokaler Exponent/3/Aufgabe/Lösung
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Polynom/C/Lokaler Exponent/3/Aufgabe
Es ist
f
′
(
z
)
=
3
z
2
−
2
z
+
7
=
3
(
z
2
−
2
3
z
+
7
3
)
=
3
(
(
z
−
1
3
)
2
−
1
9
+
7
3
)
=
3
(
(
z
−
1
3
)
2
−
1
9
+
21
9
)
=
3
(
(
z
−
1
3
)
2
+
20
9
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}f'(z)&=3z^{2}-2z+7\\&=3{\left(z^{2}-{\frac {2}{3}}z+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {7}{3}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}-{\frac {1}{9}}+{\frac {21}{9}}\right)}\\&=3{\left({\left(z-{\frac {1}{3}}\right)}^{2}+{\frac {20}{9}}\right)},\end{aligned}}}
die Nullstellen sind
z
1
=
i
20
3
+
1
3
{\displaystyle {}z_{1}={\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,}
und
z
2
=
−
i
20
3
+
1
3
.
{\displaystyle {}z_{2}=-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {20}}{3}}+{\frac {1}{3}}\,.}
Diese sind keine Nullstellen der zweiten Ableitung
f
′
′
(
z
)
=
6
z
−
2
,
{\displaystyle {}f^{\prime \prime }(z)=6z-2\,,}
also ist in diesen beiden Punkten der lokale Exponent gleich
2
{\displaystyle {}2}
und in allen anderen Punkten gleich
1
{\displaystyle {}1}
.
Zur gelösten Aufgabe
