Polynom/C nach C/Keine Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ${}P'$ besitzt den Grad ${}d-1\geq 1$ und damit zumindest eine Nullstelle ${}a\in {\mathbb {C} }$. Es sei ${}b=P(a)$. Das Polynom ${}P-b$ und seine Ableitung ${}(P-b)'=P'$ besitzen somit in ${}a$ eine Nullstelle, d.h. ${}a$ ist eine mehrfache Nullstelle von ${}P-b$. D.h. ${}P-b=(X-a)^{r}Q$ mit ${}r\geq 2$

und daher besitzt ${}P-b$ höchstens ${}d-1$ verschiedene Nullstellen, also besteht die Faser zu ${}\varphi$ über ${}b$ aus höchstens ${}d-1$ Elementen. Die Fasern von ${}\varphi$ sind aber außerhalb der Nullstellen der Ableitung ${}d$-elementig. Bei einer Überlagerung über einer zusammenhängenden Menge ist aber die Faseranzahl konstant.

Zur gelösten Aufgabe