Polynom/K/Interpolation/Lineares Gleichungssystem/Bemerkung

Wenn die Daten ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ und ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ gegeben sind, so findet man das interpolierende Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq n-1$, das es nach Fakt geben muss, folgendermaßen: Man macht den Ansatz

${}P=c_{0}+c_{1}X+c_{2}X^{2}+\cdots +c_{n-2}X^{n-2}+c_{n-1}X^{n-1}\,$

und versucht die unbekannten Koeffizienten ${}c_{0},\ldots ,c_{n-1}$ zu bestimmen. Jeder Interpolationspunkt ${}(a_{i},b_{i})$ führt zu einer linearen Gleichung

${}c_{0}+c_{1}a_{i}+c_{2}a_{i}^{2}+\cdots +c_{n-2}a_{i}^{n-2}+c_{n-1}a_{i}^{n-1}=b_{i}\,$

über ${}K$. Das entstehende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung ${}(c_{0},\ldots ,c_{n-1})$, die das Polynom festlegt.