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Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt/Beweis
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Polynom/Potenzen/Fourierreihe/Rekursionsformel/Fakt
Beweis
Für den allgemeinen Rekursionsschritt verwenden wir partielle Integration und erhalten
c
m
,
n
=
∫
0
1
t
m
e
−
2
π
i
n
t
d
t
=
−
1
2
π
i
n
(
t
m
e
−
2
π
i
n
t
)
|
0
1
+
m
2
π
i
n
∫
0
1
t
m
−
1
e
−
2
π
i
n
t
d
t
=
−
e
−
2
π
i
n
2
π
i
n
+
m
2
π
i
n
c
m
−
1
,
n
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}c_{m,n}&=\int _{0}^{1}t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\left(t^{m}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}\right)|_{0}^{1}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}\int _{0}^{1}t^{m-1}e^{-2\pi {\mathrm {i} }nt}dt\\&=-{\frac {e^{-2\pi {\mathrm {i} }n}}{2\pi {\mathrm {i} }n}}+{\frac {m}{2\pi {\mathrm {i} }n}}c_{m-1,n}.\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage