Polynom/R nach R/Lipschitz stetig/Grad/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Wir schreiben

${}P=ax+b\,$

und behaupten, dass man ${}L:=\vert {a}\vert$ als Lipschitz-Konstante nehmen kann. In der Tat ist

${}\vert {p(x)-p(x')}\vert =\vert {ax-b-ax'+b}\vert =\vert {a(x-x')}\vert =\vert {a}\vert \cdot \vert {x-x'}\vert \,.$

Von (2) nach (3) gilt immer, zu gegebenem ${}\epsilon >0$ nimmt man ${}\delta =\epsilon /L$. Von (3) nach (1). Wir zeigen, dass ein Polynom vom Grad ${}\neq 2$ nicht auf ganz ${}\mathbb {R}$ gleichmäßig stetig ist. Ohne Einschränkung sei der Leitkoeffizient positiv. Wir betrachten den Differenzenquotienten

${}{\frac {P(x+h)-P(x)}{x+h-x}}={\frac {P(x+h)-P(x)}{h}}\,.$

Da ${}P'(x)$ zumindest den Grad ${}1$ besitzt, geht die Ableitung für ${}x\rightarrow +\infty$ gegen unendlich. Mit dem Mittelwertsatz wird dann auch zu jedem festen ${}h$ der Differenzenquotient ${}{\frac {P(x+h)-P(x)}{h}}$ für ${}x$ gegen unendlich beliebig groß. Bei gegebenem ${}\epsilon >0$ gibt es daher zu jedem positiven ${}\delta =h$ ein ${}x$ mit

${}{\frac {\vert {P(x+h)-P(x)}\vert }{h}}>{\frac {\epsilon }{h}}\,$

also ist

${}\vert {P(x+h)-P(x)}\vert >\epsilon \,.$

Zur gelösten Aufgabe