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Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/1/Aufgabe/Lösung
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Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/1/Aufgabe
Unter der Bedingung
|
x
−
3
|
≤
1
800
{\displaystyle {}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,}
ist
|
f
(
x
)
−
f
(
3
)
|
=
|
2
x
3
−
4
x
+
5
−
2
⋅
3
3
+
4
⋅
3
−
5
|
=
|
2
(
x
3
−
3
3
)
−
4
(
x
−
3
)
|
≤
2
|
x
3
−
3
3
|
+
4
|
x
−
3
|
≤
2
|
x
−
3
|
⋅
|
x
2
+
3
x
+
3
2
|
+
4
800
≤
2
⋅
1
800
⋅
|
16
+
12
+
9
|
+
4
800
=
78
800
≤
1
10
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(3)}\vert &=\vert {2x^{3}-4x+5-2\cdot 3^{3}+4\cdot 3-5}\vert \\&=\vert {2(x^{3}-3^{3})-4(x-3)}\vert \\&\leq 2\vert {x^{3}-3^{3}}\vert +4\vert {x-3}\vert \\&\leq 2\vert {x-3}\vert \cdot \vert {x^{2}+3x+3^{2}}\vert +{\frac {4}{800}}\\&\leq 2\cdot {\frac {1}{800}}\cdot \vert {16+12+9}\vert +{\frac {4}{800}}\\&={\frac {78}{800}}\\&\leq {\frac {1}{10}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe