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Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/2/Aufgabe/Lösung
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<
Polynom/Stetigkeit/Überprüfe delta/2/Aufgabe
Unter der Bedingung
|
x
+
2
|
≤
1
1000
{\displaystyle {}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,}
ist
|
f
(
x
)
−
f
(
−
2
)
|
=
|
x
3
−
5
x
2
−
x
+
2
−
(
(
−
2
)
3
−
5
⋅
(
−
2
)
2
−
(
−
2
)
+
2
)
|
=
|
x
3
−
5
x
2
−
x
+
2
−
(
−
2
)
3
+
5
⋅
(
−
2
)
2
−
2
−
2
|
=
|
x
3
−
(
−
2
)
3
−
5
(
x
2
−
(
−
2
)
2
)
−
x
−
2
|
≤
|
x
3
−
(
−
2
)
3
|
+
5
|
x
2
−
(
−
2
)
2
|
+
|
x
+
2
|
=
|
x
+
2
|
⋅
|
x
2
−
2
x
+
(
−
2
)
2
|
+
5
|
x
+
2
|
⋅
|
x
−
2
|
+
|
x
+
2
|
≤
1
1000
⋅
|
x
2
−
2
x
+
(
−
2
)
2
|
+
5
1000
⋅
|
x
−
2
|
+
1
1000
≤
1
1000
⋅
|
9
+
6
+
4
|
+
5
1000
⋅
5
+
1
1000
=
45
1000
≤
1
20
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(-2)}\vert &=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-{\left((-2)^{3}-5\cdot (-2)^{2}-(-2)+2\right)}}\vert \\&=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-(-2)^{3}+5\cdot (-2)^{2}-2-2}\vert \\&=\vert {x^{3}-(-2)^{3}-5{\left(x^{2}-(-2)^{2}\right)}-x-2}\vert \\&\leq \vert {x^{3}-(-2)^{3}}\vert +5\vert {x^{2}-(-2)^{2}}\vert +\vert {x+2}\vert \\&=\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +5\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x-2}\vert +\vert {x+2}\vert \\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot \vert {x-2}\vert +{\frac {1}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {9+6+4}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot 5+{\frac {1}{1000}}\\&={\frac {45}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{20}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
