Polynom/x^4-x^3/Verlauf/Extrema/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.$

   Deshalb gibt es die beiden Nullstellen ${}0$ und ${}1$.

2. Wir arbeiten weiter mit der Faktorzerlegung

   ${}x^{4}-x^{3}=x^{3}(x-1)\,.$

   Für negatives ${}x$ sind beide Faktoren negativ, daher ist ihr Produkt positiv. Für ${}x\in ]0,1[$ ist der Faktor ${}x^{3}$ positiv und der Faktor ${}x-1$ negativ, auf diesem Intervall ist also die Funktion negativ. Für ${}x>1$ sind beide Faktoren positiv und somit ist die Funktion in diesem Abschnitt positiv.

3. Es ist

   ${}F'(x)=4x^{3}-3x^{2}=x^{2}(4x-3)=4x^{2}{\left(x-{\frac {3}{4}}\right)}\,.$

   Die Nullstellen der Ableitung sind also ${}0$ und ${}{\frac {3}{4}}$. Bei ${}x=0$ gibt es kein Extremum, da dort nach Teil (2) ein Übergang von positiv nach negativ stattfindet. Bei ${}x={\frac {3}{4}}$ ziehen wir die zweite Ableitung heran, diese ist

   ${}F^{\prime \prime }(x)=12x^{2}-6x=6x(2x-1)\,$

   und hat wegen

   ${}2\cdot {\frac {3}{4}}-1={\frac {1}{2}}>0\,$

   dort einen positiven Wert. Also liegt in ${}{\frac {3}{4}}$ ein lokales Minimum vor, das wegen der Überlegungen aus Teil (2) auch ein absolutes Minimum ist.

Zur gelösten Aufgabe