Polynomdivision/x^2+x+2 durch x-5/Beispiel

Wir führen die Polynomdivision

$P=X^{2}+X+2{\text{ durch }}T=X-5$

durch. Es wird also ein quadratisches Polynom durch ein lineares Polynom dividiert, d.h. der Quotient muss vom Grad ${}1$ und der Rest muss vom Grad ${}0$ sein. Im ersten Schritt überlegt man, mit welchem Term man ${}T$ multiplizieren muss, damit das Produkt mit ${}P$ im Leitterm übereinstimmt. Das ist offenbar ${}X$. Das Produkt ist

${}X{\left(X-5\right)}=X^{2}-5X\,.$

Die Differenz von ${}P$ zu diesem Produkt ist

$X^{2}+X+2-{\left(X^{2}-5X\right)}=6X+2\,.$

Mit diesem Polynom, nennen wir es ${}P'$, setzen wir die Division durch ${}T$ fort. Um Übereinstimmung im Leitkoeffizienten zu erhalten, muss man ${}T$ mit ${}6$ multiplizieren, dies ergibt

$6X-30.$

Die Differenz zu ${}P'$ ist somit

${}6X+2-{\left(6X-30\right)}=32\,.$

Dies ist das Restpolynom und somit ist insgesamt

$X^{2}+X+2={\left(X+6\right)}{\left(X-5\right)}+32\,.$