Polynome/2/Komplex und reell/Jacobi-Determinante invertierbar/Konstant/Aufgabe/Lösung

1. Die partiellen Ableitungen zu ${}\varphi$ sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als

   ${}D=P_{n}X^{n}+P_{n-1}X^{n-1}+\cdots +P_{1}X^{1}+P_{0}\,,$

   wobei die ${}P_{i}$ Polynome in ${}Y$ sind und ${}P_{n}\neq 0$. Es sei ${}D$ nicht konstant. Dann ist entweder (i) ${}n\geq 1$ oder (ii) ${}n=0$ und ${}P_{0}$ ist ein nichtkonstantes Polynom in ${}Y$. Im ersten Fall gibt es einen Wert ${}y$ derart, dass ${}P_{n}(y)\neq 0$ ist. Dann ist ${}D(X,y)$ ein nichtkonstantes Polynom in ${}X$. In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein ${}x\in {\mathbb {C} }$ mit ${}D(x,y)=0$ im Widerspruch zur Voraussetzung.

2. Wir betrachten die reellen Polynome

   $P=X-Y\,\,{\text{ und }}\,\,Q=X^{3}+Y^{3}+Y.$

   Die Jacobi-Matrix davon ist

   ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial P}{\partial X}}&{\frac {\partial P}{\partial Y}}\\{\frac {\partial Q}{\partial X}}&{\frac {\partial Q}{\partial Y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1\\3X^{2}&3Y^{2}+1\end{pmatrix}}\,$

   mit der Determinante

   $3Y^{2}+1+3X^{2}.$

   Dies ist stets ${}\geq 1>0$ und insbesondere nirgendwo gleich ${}0$. Die Determinante ist aber nicht konstant.

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