Polynome/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Ausdruck der Form

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in K{\text{ und }}n\in \mathbb {N}$

heißt Polynom in einer Variablen über ${}K$.

Dabei heißen die Zahlen ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ die Koeffizienten des Polynoms. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit ${}a_{i}=0$ für alle ${}i\geq 1$ heißen konstante Polynome, man schreibt sie einfach als ${}a_{0}$. Beim Nullpolynom sind überhaupt alle Koeffizienten gleich ${}0$. Mit dem Summenzeichen kann man ein Polynom kurz als ${}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ schreiben.

Definition

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient ${}a_{n}$, der zum Grad ${}n$ des Polynoms gehört, heißt Leitkoeffizient des Polynoms. Der Ausdruck ${}a_{n}X^{n}$ heißt Leitterm des Polynoms.

Die Gesamtheit aller Polynome über einem Körper ${}K$ heißt Polynomring über ${}K$, er wird mit ${}K[X]$ bezeichnet. Dabei nennt man ${}X$ die Variable des Polynomrings.

Zwei Polynome

$P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,\,{\text{ und }}\,\,Q=\sum _{i=0}^{m}b_{i}X^{i}$

werden komponentenweise miteinander addiert, d.h. die Koeffizienten der Summe ${}P+Q$ sind einfach die Summe der Koeffizienten der beiden Polynome. Bei ${}n>m$ sind die „fehlenden“ Koeffizienten von ${}Q$ als ${}0$ zu interpretieren. Diese Addition ist offenbar assoziativ und kommutativ, das Nullpolynom ist das neutrale Element und das negative Polynom ${}-P$ erhält man, indem man jeden Koeffizienten von ${}P$ negiert.

Zwei Polynome lassen sich auch miteinander multiplizieren, wobei man

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

setzt und diese Multiplikationsregel „distributiv fortsetzt“, d.h. man multipliziert „alles mit allem“ und muss dann aufaddieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben:

${\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.$

Für den Grad gelten die beiden folgenden Regeln

• ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,.$

• ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Der Graph einer Polynomfunktion von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ vom Grad ${}5$.

In ein Polynom ${}P\in K[X]$ kann man ein Element ${}a\in K$ einsetzen, indem man die Variable ${}X$ an jeder Stelle durch ${}a$ ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung

$K\longrightarrow K,\,a\longmapsto P(a),$

die die durch das Polynom definierte Polynomfunktion heißt.

Wenn ${}P$ und ${}Q$ Polynome sind, so kann man die Hintereinanderschaltung ${}P\circ Q$ einfach beschreiben: man muss in ${}P$ überall die Variable ${}X$ durch ${}Q$ ersetzen (und alles ausmultiplizieren und aufaddieren). Das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt.