Polynomiale Abbildung/Kritische Punkte/Kreis/Aufgabe/Lösung


  1. Die beiden Punkte und werden beide auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
  2. Wir machen den Ansatz

    Aus der zweiten Gleichung folgt (wegen )

    und daraus mit der ersten Gleichung

    Die Ableitung dieser Funktion nach ist

    Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem höchstens eine Lösung für geben, was wegen der ersten Bedingung auch eindeutig festlegt.

  3. Die Jacobi-Matrix ist
  4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ist, was also bei

    der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.

  5. Die Abbildung ist auf dem Rechteck injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach Fakt