Polynomiale Abbildung/Kritische Punkte/Kreis/Aufgabe/Lösung

1. Die beiden Punkte ${}\left(1,\,-1\right)$ und ${}\left(-1,\,-1\right)$ werden beide auf ${}\left(-1,\,0\right)$ abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
2. Wir machen den Ansatz

   ${}{\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y\\x(y+1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}\,.$

   Aus der zweiten Gleichung folgt (wegen ${}y+1<0$)

   ${}x={\frac {v}{y+1}}\,$

   und daraus mit der ersten Gleichung

   ${}g(y)={\frac {v^{2}}{2(y+1)^{2}}}-{\frac {y^{2}}{2}}+y=u\,.$

   Die Ableitung dieser Funktion ${}g(y)$ nach ${}y$ ist

   $-{\frac {v^{2}}{(y+1)^{3}}}-y+1.$

   Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ${}g$ ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem ${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}$ höchstens eine Lösung für ${}y$ geben, was wegen der ersten Bedingung auch ${}x$ eindeutig festlegt.

3. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}x&-y+1\\y+1&x\end{pmatrix}}$

4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}x&-y+1\\y+1&x\end{pmatrix}}=x^{2}-(y+1)(-y+1)=x^{2}+y^{2}-1\,.$

   Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ${}0$ ist, was also bei

   ${}x^{2}+y^{2}=1\,$

   der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.

5. Die Abbildung ist auf dem Rechteck ${}Q$ injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach Fakt

   ${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(\varphi (Q))&=\int _{Q}(x^{2}+y^{2}+1)d\lambda ^{2}\\&=\int _{-3}^{-2}\int _{-1}^{1}(x^{2}+y^{2}+1)dxdy\\&=\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+x\right)}{|}_{-1}^{1}dy\\&=2\int _{-3}^{-2}{\left({\frac {1}{3}}+y^{2}+1\right)}dy\\&=2{\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {1}{3}}y^{3}\right)}_{-3}^{-2}\\&=2{\left(-{\frac {8}{3}}-{\frac {8}{3}}+4+9\right)}\\&={\frac {46}{3}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe