Polynomiale Abbildungen auf Ebene/Kreis und Fermat-Quartik/Surjektive Abbildung/Nicht isomorph/Aufgabe

Betrachte in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$ die beiden Nullstellenmengen

$K=V(X^{2}+Y^{2}-1)\,\,{\text{ und }}\,\,C=V(X^{4}+Y^{4}-1).$

Zeige, dass es eine polynomiale Abbildung in zwei Variablen gibt, die die eine Nullstellenmenge surjektiv auf die andere abbildet. Zeige, dass diese Abbildung schon über ${}\mathbb {Q}$ definiert ist, dort aber nicht surjektiv ist. Zeige ferner, dass es über ${}\mathbb {Q}$ überhaupt keine surjektive polynomiale Abbildung von ${}C$ nach ${}K$ geben kann und dass es nur die konstanten polynomialen Abbildungen von ${}K$ nach ${}C$ gibt.

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