Polynomiale Gleichung/Sprachlich/2/Aufgabe/Lösung

Es geht um eine reelle Lösung für die Gleichung

${}f(x)=x^{4}-2x^{3}=-{\sqrt {42}}\,.$

Für ${}x<0$ und ${}x>2$ ist ${}f(x)=x^{3}(x-2)>0$, es kann also allenfalls in ${}[0,2]$ eine Lösung geben. Dazu bestimmen wir, wo die Funktion ${}f$ ihr Minimum annimmt. Für die Ableitung gilt

${}f'(x)=4x^{3}-6x^{2}=2x^{2}(2x-3)\,.$

An den beiden Nullstellen ${}0$ und ${}{\frac {3}{2}}$ sind die Werte

${}f(0)=0\,$

und

${}f{\left({\frac {3}{2}}\right)}={\frac {27}{8}}{\left({\frac {3}{2}}-2\right)}={\frac {27}{8}}{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}=-{\frac {27}{16}}>-2>-{\sqrt {42}}\,.$

Also ist das Minimum von ${}f$ größer als ${}-{\sqrt {42}}$ und es gibt keine Lösung.

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