Polynomring/2 Variablen/Veronesering/Beispiel

Zum Polynomring ${}A=K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ und einem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ wird der ${}k$-te Veronese-Ring durch die Monome ${}X^{k},X^{k-1}Y,\ldots ,XY^{k-1},Y^{k}$ erzeugt. Bei ${}k=2$ handelt es sich um

$K[X^{2},XY,Y^{2}]\cong K[U,V,W]/(UW-V^{2}).$

Bei ${}k=3$ handelt es sich um

$K[X^{3},X^{2}Y,XY^{2},Y^{3}]\cong K[U,V,W,Z]/(UZ-VW,UW-V^{2},VZ-W^{2}).$

Diese Ringe sind nicht isomorph zum Polynomring in zwei Variablen. Beispielsweise ist ${}A^{(2)}$ im Gegensatz zum Polynomring nicht faktoriell, die Elemente ${}U,V,W$ sind irreduzibel, aber nicht prim, und die Gleichung ${}UW=V^{2}$ bedeutet, dass zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen dieses Elementes vorliegen.