Polynomring/Charakteristik 0/Algebraisch unabhängige Elemente/Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben

${}Q_{i}=G_{i}(P_{1},\ldots ,P_{n})\,$

mit ${}G_{i}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$. Aufgrund der Kettenregel für das formale Ableiten ist

${}{\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{k}}}\right)}={\left({\left({\frac {\partial G_{i}}{\partial Y_{j}}}\right)}{\left({\frac {P_{j}}{Y_{j}}}\right)}\right)}{\left({\frac {\partial P_{j}}{\partial X_{k}}}\right)}={\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial P_{j}}}\right)}{\left({\frac {\partial P_{j}}{\partial X_{k}}}\right)}\,.$

Wenn die Determinante des linken Faktors ${}0$ wäre, so würde dies auch für das Produkt gelten. Wir können also annehmen, dass die ${}P_{j}=X_{j}$ Variablen sind.  Nehmen wir an, dass die Determinante von ${}{\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}$ gleich ${}0$ ist. Dann besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Zeilen dieser Matrix (aufgefasst im Quotientenkörper).

Zur bewiesenen Aussage